home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NeXT Education Software Sampler 1992 Fall / NeXT Education Software Sampler 1992 Fall.iso / Mathematics / Notebooks / BookSamples / CalcAndMath / 3.01.Integral.ma < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-06  |  204.1 KB  |  10,002 lines
  1. (*^
  2.  
  3. ::[paletteColors = 256; useSolids; showRuler; magnification = 125; currentKernel; 
  4.     fontset = title, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, cellOutline, groupLikeTitle, center, M7, R65535, L1, e8,  24, "CalcMath"; ;
  5.     fontset = subtitle, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, groupLikeTitle, center, M7, bold, L1, e6,  18, "CalcMath"; ;
  6.     fontset = subsubtitle, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, groupLikeTitle, center, M7, bold, L1, e6,  18, "CalcMath"; ;
  7.     fontset = section, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, groupLikeSection, grayBox, M22, bold, L1, a20,  18, "CalcMath"; ;
  8.     fontset = subsection, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, groupLikeSection, blackBox, M19, R32767, B32767, L1, a15,  16, "CalcMath"; ;
  9.     fontset = subsubsection, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, groupLikeSection, whiteBox, M18, L1, a12,  14, "CalcMath"; ;
  10.     fontset = text, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, B65535, L1,  14, "CalcMath"; ;
  11.     fontset = smalltext, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "CalcMath"; ;
  12.     fontset = input, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeInput, M42, N23, bold, L1,  12, "Courier"; ;
  13.     fontset = output, output, inactive, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L-5,  12, "Courier"; ;
  14.     fontset = message, inactive, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, R65535, B65535, L1,  12, "Courier"; ;
  15.     fontset = print, inactive, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L1,  12, "Courier"; ;
  16.     fontset = info, inactive, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L1,  12, "Courier"; ;
  17.     fontset = postscript, PostScript, formatAsPostScript, output, inactive, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeGraphics, M7, l34, w248, h323, L1,  12, "Courier"; ;
  18.     fontset = name, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, italic, L1,  10, "Times"; ;
  19.     fontset = header, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  20.     fontset = Left Header, nohscroll, cellOutline,  12;
  21.     fontset = footer, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, center, M7, L1,  12;
  22.     fontset = Left Footer, cellOutline, blackBox,  12;
  23.     fontset = help, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  10, "Times"; ;
  24.     fontset = clipboard, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  25.     fontset = completions, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12, "Courier"; ;
  26.     fontset = special1, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, whiteBox, M7, B65535, L1,  14, "CalcMath"; ;
  27.     fontset = special2, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, center, M7, R32767, B32767, L1,  12, "Courier"; ;
  28.     fontset = special3, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, right, M7, bold, L1,  12, "CalcMath"; ;
  29.     fontset = special4, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, bold, italic, L1,  12, "CalcMath"; ;
  30.     fontset = special5, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, italic, L1,  12, "CalcMath"; ;
  31.     next21StandardFontEncoding; ]
  32. :[font = title; inactive; preserveAspect; ]
  33.  
  34. Calculus&Mathematica
  35.  
  36. :[font = subtitle; inactive; preserveAspect; ]
  37. Bill Davis, Horacio Porta and Jerry Uhl
  38. :[font = special2; inactive; preserveAspect; ]
  39. Technical Crew:
  40. Don Brown in California
  41. Alan DeGuzman, Justin Gallivan and David Wiltz in Illinois
  42. and
  43. Corey Mutter in Ohio
  44. :[font = special2; inactive; preserveAspect; ]
  45. ªCopyright 1992 by Addison-Wesley Publishing Company,Inc.
  46. The rights to all modifications are assigned to
  47. Addison-Wesley Publishing Company Inc.
  48. ;[s]
  49. 2:0,0;1,1;145,-1;
  50. 2:1,0,0,Symbol,0,12,32735,0,32735;1,10,8,Courier,0,12,32735,0,32735;
  51. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  52. Initialization
  53. :[font = input; initialization; preserveAspect; endGroup; ]
  54. *)
  55. Off[General::spell1];
  56. Off[Plot::plnr];
  57. (*
  58. :[font = title; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  59.  
  60. Area and the integral
  61.  
  62. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  63. PrintForm and edited June 9, 1990
  64. Correction: Jun 14 Acorns out
  65. Edited Jul 8, 1991
  66. Filtered Oct 28, 1991 (Davis)
  67. Newest CalcMath Font, Columbus, December 1991
  68. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  69. Guide
  70. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  71. Area measurements are as old as humankind's instinct for controlling territory. The orgins of the integral as an attempt to measure area go back as far as written history goes. The early civilizations in China, Egypt, India and Mesopotamia all dealt with area measurements and in so doing ran into trouble handling `. The ancient Greeks, largely through the brilliance of Archimedes, made spectacular strides. Newton and Leibniz brought us the area measurements we are going to study here. In other courses, you will study more recent contributions made by Cauchy, Riemann and Lebesgue to this mother lode of mathematical knowledge.
  72. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  73. Basics 
  74. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  75. B.1)  Integral and area. 
  76. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  77. B.1.a)
  78. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  79. What is the integral and how is it related to area?
  80. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  81. Answer:
  82. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  83. What a beautiful question!
  84.            The integral is related to area because it is nothing 
  85.            more or less than a tool to measure area.
  86. Here is how it works:
  87. Take a function y = f[˚x˚] and plot it on an interval [˚˚a,˚˚˚b˚]˚. It might look something like this:
  88. :[font = input; preserveAspect; ]
  89. SetOptions[Plot,AspectRatio->Automatic];
  90. Clear[f,q]
  91. f[x_]=x^2/(1+x^2);
  92. q[x_]=
  93. ExpandAll[(2.3+2.5Cos[2x]f[Cos[0.8x]])Sin[x+Sin[0.8x]]+1.85Exp[-(7.85-x)^2]];
  94. a=0.5;
  95. b=10.5;
  96. x1=x/.FindRoot[q[x]==0,{x,2}];
  97. x2=x/.FindRoot[q[x]==0,{x,7}];
  98. x3=x/.FindRoot[q[x]==0,{x,9}];
  99. graph=Plot[q[x],{x,a,b},
  100.     PlotRange->{{a-1,b+1},All},
  101.     Ticks->{{},{}},AxesOrigin->{0,0},
  102.     PlotPoints->50,DisplayFunction->Identity];
  103.  
  104. labels = Graphics[{
  105.     Text["a",{a,-.3}],
  106.     Text["b",{b,+.3}],
  107.     Text["y = f[x]",{a+3,2}]}];
  108.     
  109. Show[graph,labels,DisplayFunction->$DisplayFunction];
  110. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  111. We want to measure the area between the graph of y = f˚[˚x˚] and the x-axis:
  112. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  113. rad=0.4
  114. colordisks=GrayLevel[0.85];
  115. center1:={(1.5 a+x1)/2.5,q[(a+x1)/2]/2};
  116. radius1:=rad;
  117. circle1:=Graphics[{colordisks,Disk[center1,radius1]}];
  118. center2:={(x1+3 x2)/4,q[(x1+3 x2)/4]/2};
  119. radius2:=rad;
  120. circle2:=Graphics[{colordisks,Disk[center2,radius2]}];
  121. center3:={(x2+x3)/2,q[(x2+x3)/2]/2};
  122. radius3:=rad;
  123. circle3:=Graphics[{colordisks,Disk[center3,radius3]}];
  124. center4:={(1.5 b+x3)/2.5,q[(1.5 b+x3)/2.5]/2};
  125. radius4:=radius;
  126. circle4:=Graphics[{colordisks,Disk[center4,radius4]}];
  127. oncurve=Table[{t,q[t]},{t,a,b,.1}];
  128. Clear[vertices];
  129. curveplusright=Join[oncurve,{{b,q[b]},{b,0}}];
  130. vertices=PrependTo[curveplusright,{a,0}];
  131. shade=Graphics[{GrayLevel[.75],Polygon[vertices]}];
  132. shadeColor=Graphics[{RGBColor[.75,0.75,1],Polygon[vertices]}];
  133. dots=Graphics[{PointSize[.02],
  134. Point/@{{a,0},{x1,0},{x2,0},{x3,0},{b,0}}}];
  135. line=Graphics[Line[{{a,0},{b,0}}]];
  136. Clear[cross,thick]
  137. cross[{a_,b_},radius_,thick_]:=
  138. Polygon[
  139. {
  140. {a+radius,b+thick radius},
  141. {a+thick radius,b+thick radius},
  142. {a+thick radius,b+ radius},
  143. {a-thick radius,b+ radius},
  144. {a-thick radius,b+ thick radius},
  145. {a- radius,b+ thick radius},
  146. {a- radius,b- thick radius},
  147. {a- thick radius,b- thick radius},
  148. {a- thick radius,b- radius},
  149. {a+ thick radius,b- radius},
  150. {a+ thick radius,b- thick radius},
  151. {a+ radius,b- thick radius}}]
  152. Clear[dash];
  153. dash[{a_,b_},radius_,thick_]:=
  154. Polygon[
  155. {
  156. {a+radius,b+thick radius},
  157. {a- radius,b+ thick radius},
  158. {a- radius,b- thick radius},
  159. {a+ radius,b- thick radius}}];
  160. plus[{a_,b_},radius_,thick_]:=Graphics[{
  161. RGBColor[1,1,1],
  162. Disk[{a,b},1.4 radius],
  163. RGBColor[0,0,0],
  164. cross[{a,b},radius,thick]}];
  165. minus[{a_,b_},radius_,thick_]:=Graphics[{
  166. RGBColor[1,1,1],
  167. Disk[{a,b},1.4 radius],
  168. RGBColor[0,0,0],
  169. dash[{a,b},radius,thick]}];
  170. signs1:={plus[center1,0.3,0.15],
  171. minus[center2,0.3,0.15],
  172. plus[center3,0.3,0.15],
  173. minus[center4,0.3,0.15]
  174. };
  175. Show[shade,graph,line,labels,
  176. DisplayFunction->$DisplayFunction];
  177. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 0; pictureWidth = 465; pictureHeight = 280; ]
  178. %!
  179. %%Creator: Mathematica
  180. %%AspectRatio: 0.45589 
  181. MathPictureStart
  182. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  183. % Scaling calculations
  184. 0.041667 0.083333 0.203362 0.083333 [
  185. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  186. [ 1.001 0.45689 0 0 ]
  187. ] MathScale
  188. % Start of Graphics
  189. 1 setlinecap
  190. 1 setlinejoin
  191. newpath
  192. %%Object: Graphics
  193. [ ] 0 setdash
  194. 0 setgray
  195. gsave
  196. gsave
  197. 0.002 setlinewidth
  198. 0 0.20336 moveto
  199. 1 0.20336 lineto
  200. stroke
  201. grestore
  202. gsave
  203. 0.002 setlinewidth
  204. 0.04167 0 moveto
  205. 0.04167 0.45589 lineto
  206. stroke
  207. grestore
  208. grestore
  209. 0 0 moveto
  210. 1 0 lineto
  211. 1 0.45589 lineto
  212. 0 0.45589 lineto
  213. closepath
  214. clip
  215. newpath
  216. gsave
  217. gsave
  218. gsave
  219. 0.75 setgray
  220. 0.08333 0.20336 moveto
  221. 0.08333 0.39236 lineto
  222. 0.09167 0.39976 lineto
  223. 0.1 0.39803 lineto
  224. 0.10833 0.3898 lineto
  225. 0.11667 0.37792 lineto
  226. 0.125 0.36495 lineto
  227. 0.13333 0.35265 lineto
  228. 0.14167 0.34182 lineto
  229. 0.15 0.33223 lineto
  230. 0.15833 0.32293 lineto
  231. 0.16667 0.31264 lineto
  232. 0.175 0.30027 lineto
  233. 0.18333 0.28531 lineto
  234. 0.19167 0.26804 lineto
  235. 0.2 0.24936 lineto
  236. 0.20833 0.23047 lineto
  237. 0.21667 0.21241 lineto
  238. 0.225 0.19568 lineto
  239. 0.23333 0.18015 lineto
  240. 0.24167 0.16527 lineto
  241. 0.25 0.15035 lineto
  242. 0.25833 0.13487 lineto
  243. 0.26667 0.11867 lineto
  244. 0.275 0.10202 lineto
  245. 0.28333 0.08551 lineto
  246. 0.29167 0.06997 lineto
  247. 0.3 0.05631 lineto
  248. 0.30833 0.04534 lineto
  249. 0.31667 0.03769 lineto
  250. 0.325 0.03375 lineto
  251. 0.33333 0.03365 lineto
  252. 0.34167 0.03721 lineto
  253. 0.35 0.04401 lineto
  254. 0.35833 0.05341 lineto
  255. 0.36667 0.06461 lineto
  256. 0.375 0.07672 lineto
  257. 0.38333 0.08876 lineto
  258. 0.39167 0.09979 lineto
  259. 0.4 0.10891 lineto
  260. 0.40833 0.11534 lineto
  261. 0.41667 0.11846 lineto
  262. 0.425 0.11783 lineto
  263. 0.43333 0.11329 lineto
  264. 0.44167 0.10496 lineto
  265. 0.45 0.09331 lineto
  266. 0.45833 0.07913 lineto
  267. 0.46667 0.06355 lineto
  268. 0.475 0.04795 lineto
  269. 0.48333 0.03379 lineto
  270. 0.49167 0.02243 lineto
  271. 0.5 0.0148 lineto
  272. 0.50833 0.01125 lineto
  273. 0.51667 0.01136 lineto
  274. 0.525 0.01417 lineto
  275. 0.53333 0.01849 lineto
  276. 0.54167 0.02353 lineto
  277. 0.55 0.02931 lineto
  278. 0.55833 0.03687 lineto
  279. 0.56667 0.04801 lineto
  280. 0.575 0.06476 lineto
  281. 0.58333 0.08872 lineto
  282. 0.59167 0.12047 lineto
  283. 0.6 0.15934 lineto
  284. 0.60833 0.20341 lineto
  285. 0.61667 0.24988 lineto
  286. 0.625 0.29551 lineto
  287. 0.63333 0.33723 lineto
  288. 0.64167 0.37266 lineto
  289. 0.65 0.40042 lineto
  290. 0.65833 0.42027 lineto
  291. 0.66667 0.43305 lineto
  292. 0.675 0.44026 lineto
  293. 0.68333 0.44371 lineto
  294. 0.69167 0.44493 lineto
  295. 0.7 0.44485 lineto
  296. 0.70833 0.44352 lineto
  297. 0.71667 0.44008 lineto
  298. 0.725 0.43305 lineto
  299. 0.73333 0.42064 lineto
  300. 0.74167 0.40129 lineto
  301. 0.75 0.37412 lineto
  302. 0.75833 0.33926 lineto
  303. 0.76667 0.29799 lineto
  304. 0.775 0.25264 lineto
  305. 0.78333 0.20621 lineto
  306. 0.79167 0.16193 lineto
  307. 0.8 0.12267 lineto
  308. 0.80833 0.09042 lineto
  309. 0.81667 0.06595 lineto
  310. 0.825 0.04876 lineto
  311. 0.83333 0.03733 lineto
  312. 0.84167 0.02962 lineto
  313. 0.85 0.0238 lineto
  314. 0.85833 0.01876 lineto
  315. 0.86667 0.01439 lineto
  316. 0.875 0.01145 lineto
  317. 0.88333 0.0111 lineto
  318. 0.89167 0.01435 lineto
  319. 0.9 0.02166 lineto
  320. 0.90833 0.03276 lineto
  321. 0.91667 0.04674 lineto
  322. 0.91667 0.04674 lineto
  323. 0.91667 0.20336 lineto
  324. fill
  325. grestore
  326. grestore
  327. gsave
  328. gsave
  329. gsave
  330. 0.004 setlinewidth
  331. 0.08333 0.39236 moveto
  332. 0.08546 0.39523 lineto
  333. 0.08652 0.3964 lineto
  334. 0.08759 0.39741 lineto
  335. 0.08865 0.39825 lineto
  336. 0.08971 0.39892 lineto
  337. 0.09077 0.39944 lineto
  338. 0.09131 0.39964 lineto
  339. 0.09184 0.3998 lineto
  340. 0.09237 0.39993 lineto
  341. 0.0929 0.40002 lineto
  342. 0.09343 0.40007 lineto
  343. 0.09396 0.40009 lineto
  344. 0.09449 0.40007 lineto
  345. 0.09503 0.40002 lineto
  346. 0.09556 0.39994 lineto
  347. 0.09609 0.39982 lineto
  348. 0.09715 0.3995 lineto
  349. 0.09821 0.39905 lineto
  350. 0.10034 0.3978 lineto
  351. 0.10247 0.39615 lineto
  352. 0.10459 0.39412 lineto
  353. 0.10884 0.38915 lineto
  354. 0.11735 0.37688 lineto
  355. 0.13435 0.35124 lineto
  356. 0.15136 0.33072 lineto
  357. 0.15986 0.32115 lineto
  358. 0.16837 0.31031 lineto
  359. 0.18537 0.28127 lineto
  360. 0.20238 0.24393 lineto
  361. 0.21939 0.2068 lineto
  362. 0.23639 0.17465 lineto
  363. 0.2534 0.14412 lineto
  364. 0.27041 0.11122 lineto
  365. 0.28741 0.07772 lineto
  366. 0.29592 0.06272 lineto
  367. 0.30442 0.05011 lineto
  368. 0.31293 0.04068 lineto
  369. 0.31718 0.03733 lineto
  370. 0.3193 0.03603 lineto
  371. 0.32143 0.03497 lineto
  372. 0.32355 0.03416 lineto
  373. 0.32462 0.03385 lineto
  374. 0.32568 0.0336 lineto
  375. 0.32674 0.03341 lineto
  376. 0.32727 0.03335 lineto
  377. 0.32781 0.03329 lineto
  378. 0.32834 0.03325 lineto
  379. 0.32887 0.03323 lineto
  380. 0.3294 0.03322 lineto
  381. Mistroke
  382. 0.32993 0.03323 lineto
  383. 0.33046 0.03326 lineto
  384. 0.33099 0.03329 lineto
  385. 0.33153 0.03335 lineto
  386. 0.33206 0.03342 lineto
  387. 0.33312 0.0336 lineto
  388. 0.33418 0.03385 lineto
  389. 0.33631 0.03451 lineto
  390. 0.33844 0.03541 lineto
  391. 0.34269 0.03788 lineto
  392. 0.34694 0.04117 lineto
  393. 0.35544 0.0499 lineto
  394. 0.37245 0.07298 lineto
  395. 0.38946 0.09701 lineto
  396. 0.39796 0.1069 lineto
  397. 0.40221 0.11091 lineto
  398. 0.40646 0.11417 lineto
  399. 0.40859 0.11549 lineto
  400. 0.41071 0.11659 lineto
  401. 0.41284 0.11747 lineto
  402. 0.4139 0.11782 lineto
  403. 0.41497 0.11811 lineto
  404. 0.41603 0.11835 lineto
  405. 0.41656 0.11844 lineto
  406. 0.41709 0.11852 lineto
  407. 0.41762 0.11858 lineto
  408. 0.41815 0.11863 lineto
  409. 0.41869 0.11866 lineto
  410. 0.41922 0.11867 lineto
  411. 0.41975 0.11867 lineto
  412. 0.42028 0.11866 lineto
  413. 0.42081 0.11863 lineto
  414. 0.42134 0.11858 lineto
  415. 0.42188 0.11852 lineto
  416. 0.42241 0.11844 lineto
  417. 0.42347 0.11823 lineto
  418. 0.42453 0.11796 lineto
  419. 0.4256 0.11763 lineto
  420. 0.42772 0.11677 lineto
  421. 0.42985 0.11566 lineto
  422. 0.43197 0.11429 lineto
  423. 0.43622 0.11081 lineto
  424. 0.44048 0.10637 lineto
  425. 0.44898 0.09489 lineto
  426. 0.45748 0.08066 lineto
  427. 0.47449 0.04888 lineto
  428. 0.48299 0.03432 lineto
  429. 0.48724 0.02804 lineto
  430. 0.4915 0.02262 lineto
  431. 0.49575 0.01819 lineto
  432. Mistroke
  433. 0.49787 0.01636 lineto
  434. 0.5 0.0148 lineto
  435. 0.50213 0.01351 lineto
  436. 0.50425 0.01249 lineto
  437. 0.50531 0.01208 lineto
  438. 0.50638 0.01173 lineto
  439. 0.50744 0.01144 lineto
  440. 0.5085 0.01122 lineto
  441. 0.50903 0.01113 lineto
  442. 0.50957 0.01105 lineto
  443. 0.5101 0.01099 lineto
  444. 0.51063 0.01095 lineto
  445. 0.51116 0.01092 lineto
  446. 0.51169 0.0109 lineto
  447. 0.51222 0.0109 lineto
  448. 0.51276 0.01091 lineto
  449. 0.51329 0.01093 lineto
  450. 0.51382 0.01096 lineto
  451. 0.51435 0.01101 lineto
  452. 0.51488 0.01107 lineto
  453. 0.51594 0.01123 lineto
  454. 0.51701 0.01143 lineto
  455. 0.51913 0.01197 lineto
  456. 0.52126 0.01265 lineto
  457. 0.52551 0.0144 lineto
  458. 0.53401 0.01888 lineto
  459. 0.54252 0.02408 lineto
  460. 0.55102 0.03011 lineto
  461. 0.55527 0.03378 lineto
  462. 0.55952 0.03819 lineto
  463. 0.56378 0.04361 lineto
  464. 0.56803 0.05031 lineto
  465. 0.57653 0.06859 lineto
  466. 0.58078 0.08056 lineto
  467. 0.58503 0.09457 lineto
  468. 0.59354 0.12863 lineto
  469. 0.61054 0.21564 lineto
  470. 0.62755 0.30882 lineto
  471. 0.63605 0.34958 lineto
  472. 0.64456 0.38319 lineto
  473. 0.64881 0.39694 lineto
  474. 0.65306 0.40861 lineto
  475. 0.65731 0.41825 lineto
  476. 0.66156 0.426 lineto
  477. 0.66582 0.43203 lineto
  478. 0.67007 0.43656 lineto
  479. 0.67219 0.43834 lineto
  480. 0.67432 0.43984 lineto
  481. 0.67645 0.44108 lineto
  482. 0.67857 0.4421 lineto
  483. Mistroke
  484. 0.6807 0.44292 lineto
  485. 0.68282 0.44357 lineto
  486. 0.68495 0.44408 lineto
  487. 0.68707 0.44446 lineto
  488. 0.68814 0.44461 lineto
  489. 0.6892 0.44473 lineto
  490. 0.69026 0.44483 lineto
  491. 0.69133 0.44491 lineto
  492. 0.69186 0.44494 lineto
  493. 0.69239 0.44497 lineto
  494. 0.69292 0.44499 lineto
  495. 0.69345 0.44501 lineto
  496. 0.69398 0.44502 lineto
  497. 0.69452 0.44503 lineto
  498. 0.69505 0.44503 lineto
  499. 0.69558 0.44503 lineto
  500. 0.69611 0.44503 lineto
  501. 0.69664 0.44502 lineto
  502. 0.69717 0.445 lineto
  503. 0.6977 0.44498 lineto
  504. 0.69877 0.44493 lineto
  505. 0.69983 0.44487 lineto
  506. 0.70089 0.44478 lineto
  507. 0.70196 0.44467 lineto
  508. 0.70408 0.44439 lineto
  509. 0.70621 0.44401 lineto
  510. 0.70833 0.44352 lineto
  511. 0.71046 0.44289 lineto
  512. 0.71259 0.44211 lineto
  513. 0.71471 0.44115 lineto
  514. 0.71684 0.43998 lineto
  515. 0.72109 0.43691 lineto
  516. 0.72534 0.43266 lineto
  517. 0.72959 0.42699 lineto
  518. 0.73384 0.41967 lineto
  519. 0.7381 0.41051 lineto
  520. 0.7466 0.38617 lineto
  521. 0.7551 0.35363 lineto
  522. 0.76361 0.31377 lineto
  523. 0.78061 0.22129 lineto
  524. 0.79762 0.13324 lineto
  525. 0.80612 0.09823 lineto
  526. 0.81463 0.07123 lineto
  527. 0.82313 0.05206 lineto
  528. 0.82738 0.04499 lineto
  529. 0.83163 0.03929 lineto
  530. 0.84014 0.03085 lineto
  531. 0.84864 0.02468 lineto
  532. 0.85714 0.01945 lineto
  533. 0.86139 0.01706 lineto
  534. Mistroke
  535. 0.86565 0.01487 lineto
  536. 0.8699 0.01302 lineto
  537. 0.87202 0.01227 lineto
  538. 0.87415 0.01165 lineto
  539. 0.87628 0.0112 lineto
  540. 0.87681 0.01111 lineto
  541. 0.87734 0.01104 lineto
  542. 0.87787 0.01098 lineto
  543. 0.8784 0.01093 lineto
  544. 0.87893 0.01089 lineto
  545. 0.87946 0.01087 lineto
  546. 0.88 0.01085 lineto
  547. 0.88053 0.01086 lineto
  548. 0.88106 0.01087 lineto
  549. 0.88159 0.0109 lineto
  550. 0.88212 0.01094 lineto
  551. 0.88265 0.011 lineto
  552. 0.88372 0.01116 lineto
  553. 0.88478 0.01138 lineto
  554. 0.88584 0.01166 lineto
  555. 0.8869 0.01201 lineto
  556. 0.88903 0.01289 lineto
  557. 0.89116 0.01403 lineto
  558. 0.89541 0.01713 lineto
  559. 0.89966 0.02128 lineto
  560. 0.90816 0.0325 lineto
  561. 0.91667 0.04674 lineto
  562. Mfstroke
  563. grestore
  564. grestore
  565. grestore
  566. gsave
  567. 0.004 setlinewidth
  568. 0.08333 0.20336 moveto
  569. 0.91667 0.20336 lineto
  570. stroke
  571. grestore
  572. gsave
  573. gsave
  574. [(a)] 0.08333 0.17836 0 0 Mshowa
  575. [(b)] 0.91667 0.22836 0 0 Mshowa
  576. [(y = f[x])] 0.33333 0.37003 0 0 Mshowa
  577. grestore
  578. grestore
  579. grestore
  580. % End of Graphics
  581. MathPictureEnd
  582. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  583. 0.4
  584. ;[o]
  585. 0.4
  586. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  587. If a part of this area lies above the x-axis, we consider it as positive. If a part lies below the x-axis, we consider it as negative. 
  588. This gives the signs as shown below:
  589. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  590. Show[shade,graph,line,signs1,labels,
  591.     DisplayFunction->$DisplayFunction];
  592. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 8; pictureTop = 7; pictureWidth = 273; pictureHeight = 124; endGroup; ]
  593. %!
  594. %%Creator: Mathematica
  595. %%AspectRatio: 0.45589 
  596. MathPictureStart
  597. % Scaling calculations
  598. 0.04167 0.08333 0.20336 0.08333 [
  599. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  600. [ 1.001 0.45689 0 0 ]
  601. ] MathScale
  602. % Start of Graphics
  603. 1 setlinecap
  604. 1 setlinejoin
  605. newpath
  606. %%Object: Graphics
  607. [ ] 0 setdash
  608. 0 setgray
  609. gsave
  610. gsave
  611. 0.002 setlinewidth
  612. 0 0.20336 moveto
  613. 1 0.20336 lineto
  614. stroke
  615. 0.04167 0 moveto
  616. 0.04167 0.45589 lineto
  617. stroke
  618. grestore
  619. grestore
  620. 0 0 moveto
  621. 1 0 lineto
  622. 1 0.455887 lineto
  623. 0 0.455887 lineto
  624. closepath
  625. clip
  626. newpath
  627. 0 setgray
  628. gsave
  629. gsave
  630. gsave
  631. 0.75 setgray
  632. 0.08333 0.20336 moveto
  633. 0.08333 0.39236 lineto
  634. 0.09167 0.39976 lineto
  635. 0.1 0.39803 lineto
  636. 0.10833 0.3898 lineto
  637. 0.11667 0.37792 lineto
  638. 0.125 0.36495 lineto
  639. 0.13333 0.35265 lineto
  640. 0.14167 0.34182 lineto
  641. 0.15 0.33223 lineto
  642. 0.15833 0.32293 lineto
  643. 0.16667 0.31264 lineto
  644. 0.175 0.30027 lineto
  645. 0.18333 0.28531 lineto
  646. 0.19167 0.26804 lineto
  647. 0.2 0.24936 lineto
  648. 0.20833 0.23047 lineto
  649. 0.21667 0.21241 lineto
  650. 0.225 0.19568 lineto
  651. 0.23333 0.18015 lineto
  652. 0.24167 0.16527 lineto
  653. 0.25 0.15035 lineto
  654. 0.25833 0.13487 lineto
  655. 0.26667 0.11867 lineto
  656. 0.275 0.10202 lineto
  657. 0.28333 0.08551 lineto
  658. 0.29167 0.06997 lineto
  659. 0.3 0.05631 lineto
  660. 0.30833 0.04534 lineto
  661. 0.31667 0.03769 lineto
  662. 0.325 0.03375 lineto
  663. 0.33333 0.03365 lineto
  664. 0.34167 0.03721 lineto
  665. 0.35 0.04401 lineto
  666. 0.35833 0.05341 lineto
  667. 0.36667 0.06461 lineto
  668. 0.375 0.07672 lineto
  669. 0.38333 0.08876 lineto
  670. 0.39167 0.09979 lineto
  671. 0.4 0.10891 lineto
  672. 0.40833 0.11534 lineto
  673. 0.41667 0.11846 lineto
  674. 0.425 0.11783 lineto
  675. 0.43333 0.11329 lineto
  676. 0.44167 0.10496 lineto
  677. 0.45 0.09331 lineto
  678. 0.45833 0.07913 lineto
  679. 0.46667 0.06355 lineto
  680. 0.475 0.04795 lineto
  681. 0.48333 0.03379 lineto
  682. 0.49167 0.02243 lineto
  683. 0.5 0.0148 lineto
  684. 0.50833 0.01125 lineto
  685. 0.51667 0.01136 lineto
  686. 0.525 0.01417 lineto
  687. 0.53333 0.01849 lineto
  688. 0.54167 0.02353 lineto
  689. 0.55 0.02931 lineto
  690. 0.55833 0.03687 lineto
  691. 0.56667 0.04801 lineto
  692. 0.575 0.06476 lineto
  693. 0.58333 0.08872 lineto
  694. 0.59167 0.12047 lineto
  695. 0.6 0.15934 lineto
  696. 0.60833 0.20341 lineto
  697. 0.61667 0.24988 lineto
  698. 0.625 0.29551 lineto
  699. 0.63333 0.33723 lineto
  700. 0.64167 0.37266 lineto
  701. 0.65 0.40042 lineto
  702. 0.65833 0.42027 lineto
  703. 0.66667 0.43305 lineto
  704. 0.675 0.44026 lineto
  705. 0.68333 0.44371 lineto
  706. 0.69167 0.44493 lineto
  707. 0.7 0.44485 lineto
  708. 0.70833 0.44352 lineto
  709. 0.71667 0.44008 lineto
  710. 0.725 0.43305 lineto
  711. 0.73333 0.42064 lineto
  712. 0.74167 0.40129 lineto
  713. 0.75 0.37412 lineto
  714. 0.75833 0.33926 lineto
  715. 0.76667 0.29799 lineto
  716. 0.775 0.25264 lineto
  717. 0.78333 0.20621 lineto
  718. 0.79167 0.16193 lineto
  719. 0.8 0.12267 lineto
  720. 0.80833 0.09042 lineto
  721. 0.81667 0.06595 lineto
  722. 0.825 0.04876 lineto
  723. 0.83333 0.03733 lineto
  724. 0.84167 0.02962 lineto
  725. 0.85 0.0238 lineto
  726. 0.85833 0.01876 lineto
  727. 0.86667 0.01439 lineto
  728. 0.875 0.01145 lineto
  729. 0.88333 0.0111 lineto
  730. 0.89167 0.01435 lineto
  731. 0.9 0.02166 lineto
  732. 0.90833 0.03276 lineto
  733. 0.91667 0.04674 lineto
  734. 0.91667 0.04674 lineto
  735. 0.91667 0.20336 lineto
  736. fill
  737. grestore
  738. grestore
  739. gsave
  740. gsave
  741. gsave
  742. 0.004 setlinewidth
  743. 0.08333 0.39236 moveto
  744. 0.08546 0.39523 lineto
  745. 0.08652 0.3964 lineto
  746. 0.08759 0.39741 lineto
  747. 0.08865 0.39825 lineto
  748. 0.08971 0.39892 lineto
  749. 0.09024 0.3992 lineto
  750. 0.09077 0.39944 lineto
  751. 0.09131 0.39964 lineto
  752. 0.09184 0.3998 lineto
  753. 0.09237 0.39993 lineto
  754. 0.0929 0.40002 lineto
  755. 0.09343 0.40007 lineto
  756. 0.09396 0.40009 lineto
  757. 0.09449 0.40007 lineto
  758. 0.09503 0.40002 lineto
  759. 0.09556 0.39994 lineto
  760. 0.09609 0.39982 lineto
  761. 0.09715 0.3995 lineto
  762. 0.09821 0.39905 lineto
  763. 0.09928 0.39848 lineto
  764. 0.10034 0.3978 lineto
  765. 0.10459 0.39412 lineto
  766. 0.10884 0.38915 lineto
  767. 0.11735 0.37688 lineto
  768. 0.13435 0.35124 lineto
  769. 0.15136 0.33072 lineto
  770. 0.15986 0.32115 lineto
  771. 0.16837 0.31031 lineto
  772. 0.18537 0.28127 lineto
  773. 0.20238 0.24393 lineto
  774. 0.21939 0.2068 lineto
  775. 0.23639 0.17465 lineto
  776. 0.2534 0.14412 lineto
  777. 0.27041 0.11122 lineto
  778. 0.28741 0.07772 lineto
  779. 0.29592 0.06272 lineto
  780. 0.30442 0.05011 lineto
  781. 0.31293 0.04068 lineto
  782. 0.31718 0.03733 lineto
  783. 0.3193 0.03603 lineto
  784. 0.32143 0.03497 lineto
  785. 0.32249 0.03453 lineto
  786. 0.32355 0.03416 lineto
  787. 0.32462 0.03385 lineto
  788. 0.32568 0.0336 lineto
  789. 0.32621 0.0335 lineto
  790. 0.32674 0.03341 lineto
  791. 0.32727 0.03335 lineto
  792. 0.32781 0.03329 lineto
  793. Mistroke
  794. 0.32834 0.03325 lineto
  795. 0.32887 0.03323 lineto
  796. 0.3294 0.03322 lineto
  797. 0.32993 0.03323 lineto
  798. 0.33046 0.03326 lineto
  799. 0.33099 0.03329 lineto
  800. 0.33153 0.03335 lineto
  801. 0.33206 0.03342 lineto
  802. 0.33418 0.03385 lineto
  803. 0.33525 0.03415 lineto
  804. 0.33631 0.03451 lineto
  805. 0.33844 0.03541 lineto
  806. 0.34269 0.03788 lineto
  807. 0.34694 0.04117 lineto
  808. 0.35544 0.0499 lineto
  809. 0.37245 0.07298 lineto
  810. 0.38946 0.09701 lineto
  811. 0.39796 0.1069 lineto
  812. 0.40221 0.11091 lineto
  813. 0.40646 0.11417 lineto
  814. 0.41071 0.11659 lineto
  815. 0.41284 0.11747 lineto
  816. 0.4139 0.11782 lineto
  817. 0.41497 0.11811 lineto
  818. 0.41603 0.11835 lineto
  819. 0.41656 0.11844 lineto
  820. 0.41709 0.11852 lineto
  821. 0.41762 0.11858 lineto
  822. 0.41815 0.11863 lineto
  823. 0.41869 0.11866 lineto
  824. 0.41922 0.11867 lineto
  825. 0.41975 0.11867 lineto
  826. 0.42028 0.11866 lineto
  827. 0.42081 0.11863 lineto
  828. 0.42134 0.11858 lineto
  829. 0.42188 0.11852 lineto
  830. 0.42241 0.11844 lineto
  831. 0.42347 0.11823 lineto
  832. 0.42453 0.11796 lineto
  833. 0.4256 0.11763 lineto
  834. 0.42772 0.11677 lineto
  835. 0.42985 0.11566 lineto
  836. 0.43197 0.11429 lineto
  837. 0.43622 0.11081 lineto
  838. 0.44048 0.10637 lineto
  839. 0.44898 0.09489 lineto
  840. 0.45748 0.08066 lineto
  841. 0.47449 0.04888 lineto
  842. 0.48299 0.03432 lineto
  843. 0.48724 0.02804 lineto
  844. Mistroke
  845. 0.4915 0.02262 lineto
  846. 0.49575 0.01819 lineto
  847. 0.49787 0.01636 lineto
  848. 0.5 0.0148 lineto
  849. 0.50213 0.01351 lineto
  850. 0.50425 0.01249 lineto
  851. 0.50638 0.01173 lineto
  852. 0.50744 0.01144 lineto
  853. 0.5085 0.01122 lineto
  854. 0.50957 0.01105 lineto
  855. 0.5101 0.01099 lineto
  856. 0.51063 0.01095 lineto
  857. 0.51116 0.01092 lineto
  858. 0.51169 0.0109 lineto
  859. 0.51222 0.0109 lineto
  860. 0.51276 0.01091 lineto
  861. 0.51329 0.01093 lineto
  862. 0.51382 0.01096 lineto
  863. 0.51435 0.01101 lineto
  864. 0.51488 0.01107 lineto
  865. 0.51594 0.01123 lineto
  866. 0.51701 0.01143 lineto
  867. 0.51913 0.01197 lineto
  868. 0.52126 0.01265 lineto
  869. 0.52551 0.0144 lineto
  870. 0.53401 0.01888 lineto
  871. 0.54252 0.02408 lineto
  872. 0.55102 0.03011 lineto
  873. 0.55527 0.03378 lineto
  874. 0.55952 0.03819 lineto
  875. 0.56378 0.04361 lineto
  876. 0.56803 0.05031 lineto
  877. 0.57228 0.05856 lineto
  878. 0.57653 0.06859 lineto
  879. 0.58503 0.09457 lineto
  880. 0.59354 0.12863 lineto
  881. 0.61054 0.21564 lineto
  882. 0.62755 0.30882 lineto
  883. 0.63605 0.34958 lineto
  884. 0.64456 0.38319 lineto
  885. 0.64881 0.39694 lineto
  886. 0.65306 0.40861 lineto
  887. 0.65731 0.41825 lineto
  888. 0.66156 0.426 lineto
  889. 0.66582 0.43203 lineto
  890. 0.67007 0.43656 lineto
  891. 0.67219 0.43834 lineto
  892. 0.67432 0.43984 lineto
  893. 0.67645 0.44108 lineto
  894. 0.67857 0.4421 lineto
  895. Mistroke
  896. 0.6807 0.44292 lineto
  897. 0.68282 0.44357 lineto
  898. 0.68495 0.44408 lineto
  899. 0.68707 0.44446 lineto
  900. 0.68814 0.44461 lineto
  901. 0.6892 0.44473 lineto
  902. 0.69026 0.44483 lineto
  903. 0.69133 0.44491 lineto
  904. 0.69186 0.44494 lineto
  905. 0.69239 0.44497 lineto
  906. 0.69292 0.44499 lineto
  907. 0.69345 0.44501 lineto
  908. 0.69398 0.44502 lineto
  909. 0.69452 0.44503 lineto
  910. 0.69505 0.44503 lineto
  911. 0.69558 0.44503 lineto
  912. 0.69611 0.44503 lineto
  913. 0.69664 0.44502 lineto
  914. 0.69717 0.445 lineto
  915. 0.6977 0.44498 lineto
  916. 0.69877 0.44493 lineto
  917. 0.69983 0.44487 lineto
  918. 0.70089 0.44478 lineto
  919. 0.70196 0.44467 lineto
  920. 0.70408 0.44439 lineto
  921. 0.70621 0.44401 lineto
  922. 0.70833 0.44352 lineto
  923. 0.71046 0.44289 lineto
  924. 0.71259 0.44211 lineto
  925. 0.71471 0.44115 lineto
  926. 0.71684 0.43998 lineto
  927. 0.72109 0.43691 lineto
  928. 0.72534 0.43266 lineto
  929. 0.72959 0.42699 lineto
  930. 0.73384 0.41967 lineto
  931. 0.7381 0.41051 lineto
  932. 0.7466 0.38617 lineto
  933. 0.7551 0.35363 lineto
  934. 0.76361 0.31377 lineto
  935. 0.78061 0.22129 lineto
  936. 0.79762 0.13324 lineto
  937. 0.80612 0.09823 lineto
  938. 0.81463 0.07123 lineto
  939. 0.81888 0.06073 lineto
  940. 0.82313 0.05206 lineto
  941. 0.82738 0.04499 lineto
  942. 0.83163 0.03929 lineto
  943. 0.84014 0.03085 lineto
  944. 0.84864 0.02468 lineto
  945. 0.85714 0.01945 lineto
  946. Mistroke
  947. 0.86139 0.01706 lineto
  948. 0.86565 0.01487 lineto
  949. 0.8699 0.01302 lineto
  950. 0.87202 0.01227 lineto
  951. 0.87415 0.01165 lineto
  952. 0.87521 0.01141 lineto
  953. 0.87628 0.0112 lineto
  954. 0.87681 0.01111 lineto
  955. 0.87734 0.01104 lineto
  956. 0.87787 0.01098 lineto
  957. 0.8784 0.01093 lineto
  958. 0.87893 0.01089 lineto
  959. 0.87946 0.01087 lineto
  960. 0.88 0.01085 lineto
  961. 0.88053 0.01086 lineto
  962. 0.88106 0.01087 lineto
  963. 0.88159 0.0109 lineto
  964. 0.88212 0.01094 lineto
  965. 0.88265 0.011 lineto
  966. 0.88372 0.01116 lineto
  967. 0.88478 0.01138 lineto
  968. 0.88584 0.01166 lineto
  969. 0.8869 0.01201 lineto
  970. 0.88903 0.01289 lineto
  971. 0.89116 0.01403 lineto
  972. 0.89541 0.01713 lineto
  973. 0.89966 0.02128 lineto
  974. 0.90816 0.0325 lineto
  975. 0.91667 0.04674 lineto
  976. Mfstroke
  977. grestore
  978. grestore
  979. grestore
  980. gsave
  981. 0.004 setlinewidth
  982. 0.08333 0.20336 moveto
  983. 0.91667 0.20336 lineto
  984. stroke
  985. grestore
  986. gsave
  987. gsave
  988. 1 1 1 setrgbcolor
  989. 0.004 setlinewidth
  990. 0.13844 0.26657 moveto
  991. 0.13844 0.26657 0.035 0 365.73 arc
  992. fill
  993. 0 0 0 setrgbcolor
  994. 0.16344 0.27032 moveto
  995. 0.14219 0.27032 lineto
  996. 0.14219 0.29157 lineto
  997. 0.13469 0.29157 lineto
  998. 0.13469 0.27032 lineto
  999. 0.11344 0.27032 lineto
  1000. 0.11344 0.26282 lineto
  1001. 0.13469 0.26282 lineto
  1002. 0.13469 0.24157 lineto
  1003. 0.14219 0.24157 lineto
  1004. 0.14219 0.26282 lineto
  1005. 0.16344 0.26282 lineto
  1006. fill
  1007. grestore
  1008. grestore
  1009. gsave
  1010. gsave
  1011. 1 1 1 setrgbcolor
  1012. 0.004 setlinewidth
  1013. 0.51152 0.10713 moveto
  1014. 0.51152 0.10713 0.035 0 365.73 arc
  1015. fill
  1016. 0 0 0 setrgbcolor
  1017. 0.53652 0.11088 moveto
  1018. 0.48652 0.11088 lineto
  1019. 0.48652 0.10338 lineto
  1020. 0.53652 0.10338 lineto
  1021. fill
  1022. grestore
  1023. grestore
  1024. gsave
  1025. gsave
  1026. 1 1 1 setrgbcolor
  1027. 0.004 setlinewidth
  1028. 0.69609 0.32419 moveto
  1029. 0.69609 0.32419 0.035 0 365.73 arc
  1030. fill
  1031. 0 0 0 setrgbcolor
  1032. 0.72109 0.32794 moveto
  1033. 0.69984 0.32794 lineto
  1034. 0.69984 0.34919 lineto
  1035. 0.69234 0.34919 lineto
  1036. 0.69234 0.32794 lineto
  1037. 0.67109 0.32794 lineto
  1038. 0.67109 0.32044 lineto
  1039. 0.69234 0.32044 lineto
  1040. 0.69234 0.29919 lineto
  1041. 0.69984 0.29919 lineto
  1042. 0.69984 0.32044 lineto
  1043. 0.72109 0.32044 lineto
  1044. fill
  1045. grestore
  1046. grestore
  1047. gsave
  1048. gsave
  1049. 1 1 1 setrgbcolor
  1050. 0.004 setlinewidth
  1051. 0.86354 0.10964 moveto
  1052. 0.86354 0.10964 0.035 0 365.73 arc
  1053. fill
  1054. 0 0 0 setrgbcolor
  1055. 0.88854 0.11339 moveto
  1056. 0.83854 0.11339 lineto
  1057. 0.83854 0.10589 lineto
  1058. 0.88854 0.10589 lineto
  1059. fill
  1060. grestore
  1061. grestore
  1062. gsave
  1063. gsave
  1064. 0 setgray
  1065. [(a)] 0.08333 0.17836 0 0 Mshowa
  1066. 0 setgray
  1067. [(b)] 0.91667 0.22836 0 0 Mshowa
  1068. 0 setgray
  1069. [(y = f[x])] 0.33333 0.37003 0 0 Mshowa
  1070. grestore
  1071. grestore
  1072. grestore
  1073. % End of Graphics
  1074. MathPictureEnd
  1075. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  1076. Now we define a number which we call the integral
  1077. of f[˚x˚] from a to b˚.
  1078. This number is signified by
  1079.      #Ìı f[x] dx
  1080. and its value is is the sum of these areas taken with the corresponding signs.
  1081. Accordingly, if xˋ , x“ , and x£  are as indicated below:
  1082. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  1083. Show[shadeColor,graph,line,ticks,dots,signs1,labels,
  1084.     DisplayFunction->$DisplayFunction];
  1085. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 8; pictureTop = 7; pictureWidth = 273; pictureHeight = 124; endGroup; ]
  1086. %!
  1087. %%Creator: Mathematica
  1088. %%AspectRatio: 0.45589 
  1089. MathPictureStart
  1090. % Scaling calculations
  1091. 0.04167 0.08333 0.20336 0.08333 [
  1092. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  1093. [ 1.001 0.45689 0 0 ]
  1094. ] MathScale
  1095. % Start of Graphics
  1096. 1 setlinecap
  1097. 1 setlinejoin
  1098. newpath
  1099. %%Object: Graphics
  1100. [ ] 0 setdash
  1101. 0 setgray
  1102. gsave
  1103. gsave
  1104. 0.002 setlinewidth
  1105. 0 0.20336 moveto
  1106. 1 0.20336 lineto
  1107. stroke
  1108. 0.04167 0 moveto
  1109. 0.04167 0.45589 lineto
  1110. stroke
  1111. grestore
  1112. grestore
  1113. 0 0 moveto
  1114. 1 0 lineto
  1115. 1 0.455887 lineto
  1116. 0 0.455887 lineto
  1117. closepath
  1118. clip
  1119. newpath
  1120. 0 setgray
  1121. gsave
  1122. gsave
  1123. gsave
  1124. 0.75 0.75 1 setrgbcolor
  1125. 0.08333 0.20336 moveto
  1126. 0.08333 0.39236 lineto
  1127. 0.09167 0.39976 lineto
  1128. 0.1 0.39803 lineto
  1129. 0.10833 0.3898 lineto
  1130. 0.11667 0.37792 lineto
  1131. 0.125 0.36495 lineto
  1132. 0.13333 0.35265 lineto
  1133. 0.14167 0.34182 lineto
  1134. 0.15 0.33223 lineto
  1135. 0.15833 0.32293 lineto
  1136. 0.16667 0.31264 lineto
  1137. 0.175 0.30027 lineto
  1138. 0.18333 0.28531 lineto
  1139. 0.19167 0.26804 lineto
  1140. 0.2 0.24936 lineto
  1141. 0.20833 0.23047 lineto
  1142. 0.21667 0.21241 lineto
  1143. 0.225 0.19568 lineto
  1144. 0.23333 0.18015 lineto
  1145. 0.24167 0.16527 lineto
  1146. 0.25 0.15035 lineto
  1147. 0.25833 0.13487 lineto
  1148. 0.26667 0.11867 lineto
  1149. 0.275 0.10202 lineto
  1150. 0.28333 0.08551 lineto
  1151. 0.29167 0.06997 lineto
  1152. 0.3 0.05631 lineto
  1153. 0.30833 0.04534 lineto
  1154. 0.31667 0.03769 lineto
  1155. 0.325 0.03375 lineto
  1156. 0.33333 0.03365 lineto
  1157. 0.34167 0.03721 lineto
  1158. 0.35 0.04401 lineto
  1159. 0.35833 0.05341 lineto
  1160. 0.36667 0.06461 lineto
  1161. 0.375 0.07672 lineto
  1162. 0.38333 0.08876 lineto
  1163. 0.39167 0.09979 lineto
  1164. 0.4 0.10891 lineto
  1165. 0.40833 0.11534 lineto
  1166. 0.41667 0.11846 lineto
  1167. 0.425 0.11783 lineto
  1168. 0.43333 0.11329 lineto
  1169. 0.44167 0.10496 lineto
  1170. 0.45 0.09331 lineto
  1171. 0.45833 0.07913 lineto
  1172. 0.46667 0.06355 lineto
  1173. 0.475 0.04795 lineto
  1174. 0.48333 0.03379 lineto
  1175. 0.49167 0.02243 lineto
  1176. 0.5 0.0148 lineto
  1177. 0.50833 0.01125 lineto
  1178. 0.51667 0.01136 lineto
  1179. 0.525 0.01417 lineto
  1180. 0.53333 0.01849 lineto
  1181. 0.54167 0.02353 lineto
  1182. 0.55 0.02931 lineto
  1183. 0.55833 0.03687 lineto
  1184. 0.56667 0.04801 lineto
  1185. 0.575 0.06476 lineto
  1186. 0.58333 0.08872 lineto
  1187. 0.59167 0.12047 lineto
  1188. 0.6 0.15934 lineto
  1189. 0.60833 0.20341 lineto
  1190. 0.61667 0.24988 lineto
  1191. 0.625 0.29551 lineto
  1192. 0.63333 0.33723 lineto
  1193. 0.64167 0.37266 lineto
  1194. 0.65 0.40042 lineto
  1195. 0.65833 0.42027 lineto
  1196. 0.66667 0.43305 lineto
  1197. 0.675 0.44026 lineto
  1198. 0.68333 0.44371 lineto
  1199. 0.69167 0.44493 lineto
  1200. 0.7 0.44485 lineto
  1201. 0.70833 0.44352 lineto
  1202. 0.71667 0.44008 lineto
  1203. 0.725 0.43305 lineto
  1204. 0.73333 0.42064 lineto
  1205. 0.74167 0.40129 lineto
  1206. 0.75 0.37412 lineto
  1207. 0.75833 0.33926 lineto
  1208. 0.76667 0.29799 lineto
  1209. 0.775 0.25264 lineto
  1210. 0.78333 0.20621 lineto
  1211. 0.79167 0.16193 lineto
  1212. 0.8 0.12267 lineto
  1213. 0.80833 0.09042 lineto
  1214. 0.81667 0.06595 lineto
  1215. 0.825 0.04876 lineto
  1216. 0.83333 0.03733 lineto
  1217. 0.84167 0.02962 lineto
  1218. 0.85 0.0238 lineto
  1219. 0.85833 0.01876 lineto
  1220. 0.86667 0.01439 lineto
  1221. 0.875 0.01145 lineto
  1222. 0.88333 0.0111 lineto
  1223. 0.89167 0.01435 lineto
  1224. 0.9 0.02166 lineto
  1225. 0.90833 0.03276 lineto
  1226. 0.91667 0.04674 lineto
  1227. 0.91667 0.04674 lineto
  1228. 0.91667 0.20336 lineto
  1229. fill
  1230. grestore
  1231. grestore
  1232. gsave
  1233. gsave
  1234. gsave
  1235. 0.004 setlinewidth
  1236. 0.08333 0.39236 moveto
  1237. 0.08546 0.39523 lineto
  1238. 0.08652 0.3964 lineto
  1239. 0.08759 0.39741 lineto
  1240. 0.08865 0.39825 lineto
  1241. 0.08971 0.39892 lineto
  1242. 0.09024 0.3992 lineto
  1243. 0.09077 0.39944 lineto
  1244. 0.09131 0.39964 lineto
  1245. 0.09184 0.3998 lineto
  1246. 0.09237 0.39993 lineto
  1247. 0.0929 0.40002 lineto
  1248. 0.09343 0.40007 lineto
  1249. 0.09396 0.40009 lineto
  1250. 0.09449 0.40007 lineto
  1251. 0.09503 0.40002 lineto
  1252. 0.09556 0.39994 lineto
  1253. 0.09609 0.39982 lineto
  1254. 0.09715 0.3995 lineto
  1255. 0.09821 0.39905 lineto
  1256. 0.09928 0.39848 lineto
  1257. 0.10034 0.3978 lineto
  1258. 0.10459 0.39412 lineto
  1259. 0.10884 0.38915 lineto
  1260. 0.11735 0.37688 lineto
  1261. 0.13435 0.35124 lineto
  1262. 0.15136 0.33072 lineto
  1263. 0.15986 0.32115 lineto
  1264. 0.16837 0.31031 lineto
  1265. 0.18537 0.28127 lineto
  1266. 0.20238 0.24393 lineto
  1267. 0.21939 0.2068 lineto
  1268. 0.23639 0.17465 lineto
  1269. 0.2534 0.14412 lineto
  1270. 0.27041 0.11122 lineto
  1271. 0.28741 0.07772 lineto
  1272. 0.29592 0.06272 lineto
  1273. 0.30442 0.05011 lineto
  1274. 0.31293 0.04068 lineto
  1275. 0.31718 0.03733 lineto
  1276. 0.3193 0.03603 lineto
  1277. 0.32143 0.03497 lineto
  1278. 0.32249 0.03453 lineto
  1279. 0.32355 0.03416 lineto
  1280. 0.32462 0.03385 lineto
  1281. 0.32568 0.0336 lineto
  1282. 0.32621 0.0335 lineto
  1283. 0.32674 0.03341 lineto
  1284. 0.32727 0.03335 lineto
  1285. 0.32781 0.03329 lineto
  1286. Mistroke
  1287. 0.32834 0.03325 lineto
  1288. 0.32887 0.03323 lineto
  1289. 0.3294 0.03322 lineto
  1290. 0.32993 0.03323 lineto
  1291. 0.33046 0.03326 lineto
  1292. 0.33099 0.03329 lineto
  1293. 0.33153 0.03335 lineto
  1294. 0.33206 0.03342 lineto
  1295. 0.33418 0.03385 lineto
  1296. 0.33525 0.03415 lineto
  1297. 0.33631 0.03451 lineto
  1298. 0.33844 0.03541 lineto
  1299. 0.34269 0.03788 lineto
  1300. 0.34694 0.04117 lineto
  1301. 0.35544 0.0499 lineto
  1302. 0.37245 0.07298 lineto
  1303. 0.38946 0.09701 lineto
  1304. 0.39796 0.1069 lineto
  1305. 0.40221 0.11091 lineto
  1306. 0.40646 0.11417 lineto
  1307. 0.41071 0.11659 lineto
  1308. 0.41284 0.11747 lineto
  1309. 0.4139 0.11782 lineto
  1310. 0.41497 0.11811 lineto
  1311. 0.41603 0.11835 lineto
  1312. 0.41656 0.11844 lineto
  1313. 0.41709 0.11852 lineto
  1314. 0.41762 0.11858 lineto
  1315. 0.41815 0.11863 lineto
  1316. 0.41869 0.11866 lineto
  1317. 0.41922 0.11867 lineto
  1318. 0.41975 0.11867 lineto
  1319. 0.42028 0.11866 lineto
  1320. 0.42081 0.11863 lineto
  1321. 0.42134 0.11858 lineto
  1322. 0.42188 0.11852 lineto
  1323. 0.42241 0.11844 lineto
  1324. 0.42347 0.11823 lineto
  1325. 0.42453 0.11796 lineto
  1326. 0.4256 0.11763 lineto
  1327. 0.42772 0.11677 lineto
  1328. 0.42985 0.11566 lineto
  1329. 0.43197 0.11429 lineto
  1330. 0.43622 0.11081 lineto
  1331. 0.44048 0.10637 lineto
  1332. 0.44898 0.09489 lineto
  1333. 0.45748 0.08066 lineto
  1334. 0.47449 0.04888 lineto
  1335. 0.48299 0.03432 lineto
  1336. 0.48724 0.02804 lineto
  1337. Mistroke
  1338. 0.4915 0.02262 lineto
  1339. 0.49575 0.01819 lineto
  1340. 0.49787 0.01636 lineto
  1341. 0.5 0.0148 lineto
  1342. 0.50213 0.01351 lineto
  1343. 0.50425 0.01249 lineto
  1344. 0.50638 0.01173 lineto
  1345. 0.50744 0.01144 lineto
  1346. 0.5085 0.01122 lineto
  1347. 0.50957 0.01105 lineto
  1348. 0.5101 0.01099 lineto
  1349. 0.51063 0.01095 lineto
  1350. 0.51116 0.01092 lineto
  1351. 0.51169 0.0109 lineto
  1352. 0.51222 0.0109 lineto
  1353. 0.51276 0.01091 lineto
  1354. 0.51329 0.01093 lineto
  1355. 0.51382 0.01096 lineto
  1356. 0.51435 0.01101 lineto
  1357. 0.51488 0.01107 lineto
  1358. 0.51594 0.01123 lineto
  1359. 0.51701 0.01143 lineto
  1360. 0.51913 0.01197 lineto
  1361. 0.52126 0.01265 lineto
  1362. 0.52551 0.0144 lineto
  1363. 0.53401 0.01888 lineto
  1364. 0.54252 0.02408 lineto
  1365. 0.55102 0.03011 lineto
  1366. 0.55527 0.03378 lineto
  1367. 0.55952 0.03819 lineto
  1368. 0.56378 0.04361 lineto
  1369. 0.56803 0.05031 lineto
  1370. 0.57228 0.05856 lineto
  1371. 0.57653 0.06859 lineto
  1372. 0.58503 0.09457 lineto
  1373. 0.59354 0.12863 lineto
  1374. 0.61054 0.21564 lineto
  1375. 0.62755 0.30882 lineto
  1376. 0.63605 0.34958 lineto
  1377. 0.64456 0.38319 lineto
  1378. 0.64881 0.39694 lineto
  1379. 0.65306 0.40861 lineto
  1380. 0.65731 0.41825 lineto
  1381. 0.66156 0.426 lineto
  1382. 0.66582 0.43203 lineto
  1383. 0.67007 0.43656 lineto
  1384. 0.67219 0.43834 lineto
  1385. 0.67432 0.43984 lineto
  1386. 0.67645 0.44108 lineto
  1387. 0.67857 0.4421 lineto
  1388. Mistroke
  1389. 0.6807 0.44292 lineto
  1390. 0.68282 0.44357 lineto
  1391. 0.68495 0.44408 lineto
  1392. 0.68707 0.44446 lineto
  1393. 0.68814 0.44461 lineto
  1394. 0.6892 0.44473 lineto
  1395. 0.69026 0.44483 lineto
  1396. 0.69133 0.44491 lineto
  1397. 0.69186 0.44494 lineto
  1398. 0.69239 0.44497 lineto
  1399. 0.69292 0.44499 lineto
  1400. 0.69345 0.44501 lineto
  1401. 0.69398 0.44502 lineto
  1402. 0.69452 0.44503 lineto
  1403. 0.69505 0.44503 lineto
  1404. 0.69558 0.44503 lineto
  1405. 0.69611 0.44503 lineto
  1406. 0.69664 0.44502 lineto
  1407. 0.69717 0.445 lineto
  1408. 0.6977 0.44498 lineto
  1409. 0.69877 0.44493 lineto
  1410. 0.69983 0.44487 lineto
  1411. 0.70089 0.44478 lineto
  1412. 0.70196 0.44467 lineto
  1413. 0.70408 0.44439 lineto
  1414. 0.70621 0.44401 lineto
  1415. 0.70833 0.44352 lineto
  1416. 0.71046 0.44289 lineto
  1417. 0.71259 0.44211 lineto
  1418. 0.71471 0.44115 lineto
  1419. 0.71684 0.43998 lineto
  1420. 0.72109 0.43691 lineto
  1421. 0.72534 0.43266 lineto
  1422. 0.72959 0.42699 lineto
  1423. 0.73384 0.41967 lineto
  1424. 0.7381 0.41051 lineto
  1425. 0.7466 0.38617 lineto
  1426. 0.7551 0.35363 lineto
  1427. 0.76361 0.31377 lineto
  1428. 0.78061 0.22129 lineto
  1429. 0.79762 0.13324 lineto
  1430. 0.80612 0.09823 lineto
  1431. 0.81463 0.07123 lineto
  1432. 0.81888 0.06073 lineto
  1433. 0.82313 0.05206 lineto
  1434. 0.82738 0.04499 lineto
  1435. 0.83163 0.03929 lineto
  1436. 0.84014 0.03085 lineto
  1437. 0.84864 0.02468 lineto
  1438. 0.85714 0.01945 lineto
  1439. Mistroke
  1440. 0.86139 0.01706 lineto
  1441. 0.86565 0.01487 lineto
  1442. 0.8699 0.01302 lineto
  1443. 0.87202 0.01227 lineto
  1444. 0.87415 0.01165 lineto
  1445. 0.87521 0.01141 lineto
  1446. 0.87628 0.0112 lineto
  1447. 0.87681 0.01111 lineto
  1448. 0.87734 0.01104 lineto
  1449. 0.87787 0.01098 lineto
  1450. 0.8784 0.01093 lineto
  1451. 0.87893 0.01089 lineto
  1452. 0.87946 0.01087 lineto
  1453. 0.88 0.01085 lineto
  1454. 0.88053 0.01086 lineto
  1455. 0.88106 0.01087 lineto
  1456. 0.88159 0.0109 lineto
  1457. 0.88212 0.01094 lineto
  1458. 0.88265 0.011 lineto
  1459. 0.88372 0.01116 lineto
  1460. 0.88478 0.01138 lineto
  1461. 0.88584 0.01166 lineto
  1462. 0.8869 0.01201 lineto
  1463. 0.88903 0.01289 lineto
  1464. 0.89116 0.01403 lineto
  1465. 0.89541 0.01713 lineto
  1466. 0.89966 0.02128 lineto
  1467. 0.90816 0.0325 lineto
  1468. 0.91667 0.04674 lineto
  1469. Mfstroke
  1470. grestore
  1471. grestore
  1472. grestore
  1473. gsave
  1474. 0.004 setlinewidth
  1475. 0.08333 0.20336 moveto
  1476. 0.91667 0.20336 lineto
  1477. stroke
  1478. grestore
  1479. gsave
  1480. 0 setgray
  1481. [(x)] 0.22109 0.20336 -1 -2.5 Mshowa
  1482. 0 setgray
  1483. [(1)] 0.22109 0.20336 -2.5 -1.5 Mshowa
  1484. 0 setgray
  1485. [(x)] 0.60832 0.20336 4 -2.5 Mshowa
  1486. 0 setgray
  1487. [(2)] 0.60832 0.20336 2 -1.5 Mshowa
  1488. 0 setgray
  1489. [(x)] 0.78385 0.20336 -2 -2.5 Mshowa
  1490. 0 setgray
  1491. [(3)] 0.78385 0.20336 -4 -1.5 Mshowa
  1492. grestore
  1493. gsave
  1494. gsave
  1495. gsave
  1496. 0.02 setlinewidth
  1497. 0.08333 0.20336 Mdot
  1498. 0.22109 0.20336 Mdot
  1499. 0.60832 0.20336 Mdot
  1500. 0.78385 0.20336 Mdot
  1501. 0.91667 0.20336 Mdot
  1502. grestore
  1503. grestore
  1504. grestore
  1505. gsave
  1506. gsave
  1507. 1 1 1 setrgbcolor
  1508. 0.004 setlinewidth
  1509. 0.13844 0.26657 moveto
  1510. 0.13844 0.26657 0.035 0 365.73 arc
  1511. fill
  1512. 0 0 0 setrgbcolor
  1513. 0.16344 0.27032 moveto
  1514. 0.14219 0.27032 lineto
  1515. 0.14219 0.29157 lineto
  1516. 0.13469 0.29157 lineto
  1517. 0.13469 0.27032 lineto
  1518. 0.11344 0.27032 lineto
  1519. 0.11344 0.26282 lineto
  1520. 0.13469 0.26282 lineto
  1521. 0.13469 0.24157 lineto
  1522. 0.14219 0.24157 lineto
  1523. 0.14219 0.26282 lineto
  1524. 0.16344 0.26282 lineto
  1525. fill
  1526. grestore
  1527. grestore
  1528. gsave
  1529. gsave
  1530. 1 1 1 setrgbcolor
  1531. 0.004 setlinewidth
  1532. 0.51152 0.10713 moveto
  1533. 0.51152 0.10713 0.035 0 365.73 arc
  1534. fill
  1535. 0 0 0 setrgbcolor
  1536. 0.53652 0.11088 moveto
  1537. 0.48652 0.11088 lineto
  1538. 0.48652 0.10338 lineto
  1539. 0.53652 0.10338 lineto
  1540. fill
  1541. grestore
  1542. grestore
  1543. gsave
  1544. gsave
  1545. 1 1 1 setrgbcolor
  1546. 0.004 setlinewidth
  1547. 0.69609 0.32419 moveto
  1548. 0.69609 0.32419 0.035 0 365.73 arc
  1549. fill
  1550. 0 0 0 setrgbcolor
  1551. 0.72109 0.32794 moveto
  1552. 0.69984 0.32794 lineto
  1553. 0.69984 0.34919 lineto
  1554. 0.69234 0.34919 lineto
  1555. 0.69234 0.32794 lineto
  1556. 0.67109 0.32794 lineto
  1557. 0.67109 0.32044 lineto
  1558. 0.69234 0.32044 lineto
  1559. 0.69234 0.29919 lineto
  1560. 0.69984 0.29919 lineto
  1561. 0.69984 0.32044 lineto
  1562. 0.72109 0.32044 lineto
  1563. fill
  1564. grestore
  1565. grestore
  1566. gsave
  1567. gsave
  1568. 1 1 1 setrgbcolor
  1569. 0.004 setlinewidth
  1570. 0.86354 0.10964 moveto
  1571. 0.86354 0.10964 0.035 0 365.73 arc
  1572. fill
  1573. 0 0 0 setrgbcolor
  1574. 0.88854 0.11339 moveto
  1575. 0.83854 0.11339 lineto
  1576. 0.83854 0.10589 lineto
  1577. 0.88854 0.10589 lineto
  1578. fill
  1579. grestore
  1580. grestore
  1581. gsave
  1582. gsave
  1583. 0 setgray
  1584. [(a)] 0.08333 0.17836 0 0 Mshowa
  1585. 0 setgray
  1586. [(b)] 0.91667 0.22836 0 0 Mshowa
  1587. 0 setgray
  1588. [(y = f[x])] 0.33333 0.37003 0 0 Mshowa
  1589. grestore
  1590. grestore
  1591. grestore
  1592. % End of Graphics
  1593. MathPictureEnd
  1594. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  1595. Then we see that
  1596.      #Ìı f[x] dx
  1597.           = #Ìûå f[˚x˚] dx + #¯ûˋç f[˚x˚]˚ dx
  1598.    
  1599.           + #¯û“è f[˚x˚] dx + #¯ı£  f[˚x˚] dx
  1600. where
  1601.           #Ìûå f[˚x˚] dx and #¯û“è f[˚x˚] dx are positive
  1602. and
  1603.           #¯ûˋç f[˚x˚]˚ dx and #¯ı£  f[˚x˚] dx are negative. 
  1604. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  1605. B.1.b)
  1606. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  1607. Make the indicated area measurents:
  1608. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  1609. B.1.b.i)
  1610. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  1611. #ˋé (“Òû + 1)˚ dx.
  1612. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  1613. Answer:
  1614. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  1615. #ˋé (“Òû + 1)˚ dx measures the area under the curve
  1616. y = f[x] = (“Òû + 1)
  1617. and above the segment [1,˚4˚] on the x-axis. Here is a plot:
  1618. :[font = input; preserveAspect; ]
  1619. Clear[f,x]
  1620. f[x_] = (x/2 + 1)
  1621. :[font = input; preserveAspect; ]
  1622. functionplot = Plot[f[x],{x,1,4},PlotRange->{0,3},
  1623.     AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{"x","y"},
  1624.     DisplayFunction->Identity];
  1625. poly = Graphics[{GrayLevel[.75],
  1626.     Polygon[{{1,0},{1,f[1]},{4,f[4]},{4,0}}]}];
  1627. Show[functionplot,poly,
  1628.     Ticks->{{1,2,3,4},{1,2,3}},
  1629.     AxesOrigin->{0,0},
  1630.     AxesLabel->{"x","y"},
  1631.     DisplayFunction->$DisplayFunction];
  1632. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  1633. This integral is the area of a trapezoid with 
  1634. :[font = input; preserveAspect; ]
  1635. shortHeight = 1.5
  1636. tallHeight  = 3
  1637. width       = 3
  1638. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  1639. Consequently the area measurement #ˋé (x/2 +1) dx in square units is given by:
  1640. :[font = input; preserveAspect; ]
  1641. ((tallHeight + shortHeight)/2) width
  1642. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  1643. Mathematica can also handle this measurement directly:
  1644. :[font = input; preserveAspect; ]
  1645. Integrate[(x/2 + 1),{x,1,4}]
  1646. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  1647. This fraction has the value:
  1648. :[font = input; preserveAspect; ]
  1649. N[27/4]
  1650. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  1651. Got it.
  1652. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  1653. B.1.b.ii)
  1654. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  1655. #— ¢é (“Òû + 1)˚˚ dx
  1656. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  1657. Answer:
  1658. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  1659. #— ¢é (“Òû + 1)˚ dx measures the area under the curve   
  1660. y = f[x] = (“Òû + 1)  
  1661. and above the segment [-4,˚4˚] on the x-axis. Take a look at the plot:
  1662. :[font = input; preserveAspect; ]
  1663. Clear[f,x]
  1664. f[x_] = (x/2 + 1)
  1665. :[font = input; preserveAspect; ]
  1666. functionplot = Plot[f[x],{x,-4,4},PlotRange->{-2,3},
  1667.     AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{"x","y"}];
  1668. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  1669. Put in the shading:
  1670. :[font = input; preserveAspect; ]
  1671. poly=
  1672. Graphics[{GrayLevel[.75],Polygon[{{-4,0},{-4,f[-4]},
  1673. {4,f[4]},{4,0}}]}]
  1674.  
  1675. Show[poly,functionplot,
  1676.     Graphics[Line[{{-4,0},{4,0}}]],
  1677.     DisplayFunction->$DisplayFunction];
  1678. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  1679. The measure #—±¢ç (“Òû + 1) dx of the triangular area on the left is negative:
  1680. :[font = input; preserveAspect; ]
  1681. height = 1
  1682. base   = 2
  1683. left   = -(1/2) base height
  1684. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  1685. The measure #— “é (“Òû + 1) dx of the triangular area on the right is positive:
  1686. :[font = input; preserveAspect; ]
  1687. height = 3
  1688. base   = 6
  1689. right  = +(1/2) base height
  1690. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  1691. Consequently the area measurement  
  1692. #— ¢é (“Òû + 1)˚ dx = #—±¢ç (“Òû + 1) + #— “é (“Òû + 1) dx    
  1693. is given by:
  1694. :[font = input; preserveAspect; ]
  1695. left + right
  1696. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  1697. Mathematica can make the area measurement #— ¢é (“Òû + 1)˚ dx directly:
  1698. :[font = input; preserveAspect; ]
  1699. Integrate[(x/2 + 1),{x,-4,4}]
  1700. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  1701. Got it and it wasn't very hard.
  1702. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  1703. B.2)  The integral sign.
  1704. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  1705. What is the strange looking notation
  1706.      #Ìı f[x]˚ dx
  1707. supposed to convey?
  1708. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  1709. Answer:
  1710. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  1711. This whimsically suggestive notation goes all the way back to the emergence of calculus as a coherent body of study in the late 1600's. The lazy S symbol # was invented by Leibniz himself in 1675. It is supposed to conjure up the idea of an area between the x - axis and the graph of y = f[x] as a "moving sum" of all the individual constituent vertical line segments running from {x,0} to {x, f[x]} for a ² x ² b. 
  1712. To get the idea, select the bar on the right and press Command-Y (click the mouse when you want to stop):
  1713. If the amination moves from right to left, then correct it by pressing the down arrow button at the lower right of your keyboard.
  1714. :[font = input; closed; preserveAspect; ]
  1715. Clear[x,f,ruth,harold,fred,mabel];
  1716. f[x_]=(x^3-2x^2)E^-x + .5;
  1717. ruth=Table[{x,f[x]},{x,0,3,.1}];
  1718. harold=Plot[f[x],{x,0,3},PlotStyle->
  1719.     Thickness[0.015],DisplayFunction->Identity];
  1720. Clear[fred,mabel];
  1721. fred[k_]:=Join[{{0,0}},Take[ruth,k],{{ruth[[k,1]],0},
  1722.     {0,0}}];
  1723. mabel[k_]:=Graphics[{GrayLevel[0.25],Polygon[fred[k]]}];
  1724. Table[Show[mabel[2k+1],harold,
  1725.     DisplayFunction->$DisplayFunction],
  1726.         {k,15}];
  1727. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; Cclosed; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; startGroup; ]
  1728. %!
  1729. %%Creator: Mathematica
  1730. %%AspectRatio: 0.61803 
  1731. MathPictureStart
  1732. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  1733. % Scaling calculations
  1734. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  1735. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  1736. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  1737. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  1738. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  1739. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  1740. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  1741. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  1742. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  1743. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  1744. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  1745. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  1746. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  1747. ] MathScale
  1748. % Start of Graphics
  1749. 1 setlinecap
  1750. 1 setlinejoin
  1751. newpath
  1752. %%Object: Graphics
  1753. [ ] 0 setdash
  1754. 0 setgray
  1755. gsave
  1756. gsave
  1757. 0.002 setlinewidth
  1758. 0.18254 0.01472 moveto
  1759. 0.18254 0.02097 lineto
  1760. stroke
  1761. grestore
  1762. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  1763. gsave
  1764. 0.002 setlinewidth
  1765. 0.34127 0.01472 moveto
  1766. 0.34127 0.02097 lineto
  1767. stroke
  1768. grestore
  1769. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  1770. gsave
  1771. 0.002 setlinewidth
  1772. 0.5 0.01472 moveto
  1773. 0.5 0.02097 lineto
  1774. stroke
  1775. grestore
  1776. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  1777. gsave
  1778. 0.002 setlinewidth
  1779. 0.65873 0.01472 moveto
  1780. 0.65873 0.02097 lineto
  1781. stroke
  1782. grestore
  1783. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  1784. gsave
  1785. 0.002 setlinewidth
  1786. 0.81746 0.01472 moveto
  1787. 0.81746 0.02097 lineto
  1788. stroke
  1789. grestore
  1790. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  1791. gsave
  1792. 0.002 setlinewidth
  1793. 0.97619 0.01472 moveto
  1794. 0.97619 0.02097 lineto
  1795. stroke
  1796. grestore
  1797. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  1798. gsave
  1799. 0.001 setlinewidth
  1800. 0.05556 0.01472 moveto
  1801. 0.05556 0.01847 lineto
  1802. stroke
  1803. grestore
  1804. gsave
  1805. 0.001 setlinewidth
  1806. 0.0873 0.01472 moveto
  1807. 0.0873 0.01847 lineto
  1808. stroke
  1809. grestore
  1810. gsave
  1811. 0.001 setlinewidth
  1812. 0.11905 0.01472 moveto
  1813. 0.11905 0.01847 lineto
  1814. stroke
  1815. grestore
  1816. gsave
  1817. 0.001 setlinewidth
  1818. 0.15079 0.01472 moveto
  1819. 0.15079 0.01847 lineto
  1820. stroke
  1821. grestore
  1822. gsave
  1823. 0.001 setlinewidth
  1824. 0.21429 0.01472 moveto
  1825. 0.21429 0.01847 lineto
  1826. stroke
  1827. grestore
  1828. gsave
  1829. 0.001 setlinewidth
  1830. 0.24603 0.01472 moveto
  1831. 0.24603 0.01847 lineto
  1832. stroke
  1833. grestore
  1834. gsave
  1835. 0.001 setlinewidth
  1836. 0.27778 0.01472 moveto
  1837. 0.27778 0.01847 lineto
  1838. stroke
  1839. grestore
  1840. gsave
  1841. 0.001 setlinewidth
  1842. 0.30952 0.01472 moveto
  1843. 0.30952 0.01847 lineto
  1844. stroke
  1845. grestore
  1846. gsave
  1847. 0.001 setlinewidth
  1848. 0.37302 0.01472 moveto
  1849. 0.37302 0.01847 lineto
  1850. stroke
  1851. grestore
  1852. gsave
  1853. 0.001 setlinewidth
  1854. 0.40476 0.01472 moveto
  1855. 0.40476 0.01847 lineto
  1856. stroke
  1857. grestore
  1858. gsave
  1859. 0.001 setlinewidth
  1860. 0.43651 0.01472 moveto
  1861. 0.43651 0.01847 lineto
  1862. stroke
  1863. grestore
  1864. gsave
  1865. 0.001 setlinewidth
  1866. 0.46825 0.01472 moveto
  1867. 0.46825 0.01847 lineto
  1868. stroke
  1869. grestore
  1870. gsave
  1871. 0.001 setlinewidth
  1872. 0.53175 0.01472 moveto
  1873. 0.53175 0.01847 lineto
  1874. stroke
  1875. grestore
  1876. gsave
  1877. 0.001 setlinewidth
  1878. 0.56349 0.01472 moveto
  1879. 0.56349 0.01847 lineto
  1880. stroke
  1881. grestore
  1882. gsave
  1883. 0.001 setlinewidth
  1884. 0.59524 0.01472 moveto
  1885. 0.59524 0.01847 lineto
  1886. stroke
  1887. grestore
  1888. gsave
  1889. 0.001 setlinewidth
  1890. 0.62698 0.01472 moveto
  1891. 0.62698 0.01847 lineto
  1892. stroke
  1893. grestore
  1894. gsave
  1895. 0.001 setlinewidth
  1896. 0.69048 0.01472 moveto
  1897. 0.69048 0.01847 lineto
  1898. stroke
  1899. grestore
  1900. gsave
  1901. 0.001 setlinewidth
  1902. 0.72222 0.01472 moveto
  1903. 0.72222 0.01847 lineto
  1904. stroke
  1905. grestore
  1906. gsave
  1907. 0.001 setlinewidth
  1908. 0.75397 0.01472 moveto
  1909. 0.75397 0.01847 lineto
  1910. stroke
  1911. grestore
  1912. gsave
  1913. 0.001 setlinewidth
  1914. 0.78571 0.01472 moveto
  1915. 0.78571 0.01847 lineto
  1916. stroke
  1917. grestore
  1918. gsave
  1919. 0.001 setlinewidth
  1920. 0.84921 0.01472 moveto
  1921. 0.84921 0.01847 lineto
  1922. stroke
  1923. grestore
  1924. gsave
  1925. 0.001 setlinewidth
  1926. 0.88095 0.01472 moveto
  1927. 0.88095 0.01847 lineto
  1928. stroke
  1929. grestore
  1930. gsave
  1931. 0.001 setlinewidth
  1932. 0.9127 0.01472 moveto
  1933. 0.9127 0.01847 lineto
  1934. stroke
  1935. grestore
  1936. gsave
  1937. 0.001 setlinewidth
  1938. 0.94444 0.01472 moveto
  1939. 0.94444 0.01847 lineto
  1940. stroke
  1941. grestore
  1942. gsave
  1943. 0.002 setlinewidth
  1944. 0 0.01472 moveto
  1945. 1 0.01472 lineto
  1946. stroke
  1947. grestore
  1948. gsave
  1949. 0.002 setlinewidth
  1950. 0.02381 0.13888 moveto
  1951. 0.03006 0.13888 lineto
  1952. stroke
  1953. grestore
  1954. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  1955. gsave
  1956. 0.002 setlinewidth
  1957. 0.02381 0.26305 moveto
  1958. 0.03006 0.26305 lineto
  1959. stroke
  1960. grestore
  1961. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  1962. gsave
  1963. 0.002 setlinewidth
  1964. 0.02381 0.38722 moveto
  1965. 0.03006 0.38722 lineto
  1966. stroke
  1967. grestore
  1968. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  1969. gsave
  1970. 0.002 setlinewidth
  1971. 0.02381 0.51138 moveto
  1972. 0.03006 0.51138 lineto
  1973. stroke
  1974. grestore
  1975. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  1976. gsave
  1977. 0.001 setlinewidth
  1978. 0.02381 0.03955 moveto
  1979. 0.02756 0.03955 lineto
  1980. stroke
  1981. grestore
  1982. gsave
  1983. 0.001 setlinewidth
  1984. 0.02381 0.06438 moveto
  1985. 0.02756 0.06438 lineto
  1986. stroke
  1987. grestore
  1988. gsave
  1989. 0.001 setlinewidth
  1990. 0.02381 0.08922 moveto
  1991. 0.02756 0.08922 lineto
  1992. stroke
  1993. grestore
  1994. gsave
  1995. 0.001 setlinewidth
  1996. 0.02381 0.11405 moveto
  1997. 0.02756 0.11405 lineto
  1998. stroke
  1999. grestore
  2000. gsave
  2001. 0.001 setlinewidth
  2002. 0.02381 0.16372 moveto
  2003. 0.02756 0.16372 lineto
  2004. stroke
  2005. grestore
  2006. gsave
  2007. 0.001 setlinewidth
  2008. 0.02381 0.18855 moveto
  2009. 0.02756 0.18855 lineto
  2010. stroke
  2011. grestore
  2012. gsave
  2013. 0.001 setlinewidth
  2014. 0.02381 0.21338 moveto
  2015. 0.02756 0.21338 lineto
  2016. stroke
  2017. grestore
  2018. gsave
  2019. 0.001 setlinewidth
  2020. 0.02381 0.23822 moveto
  2021. 0.02756 0.23822 lineto
  2022. stroke
  2023. grestore
  2024. gsave
  2025. 0.001 setlinewidth
  2026. 0.02381 0.28788 moveto
  2027. 0.02756 0.28788 lineto
  2028. stroke
  2029. grestore
  2030. gsave
  2031. 0.001 setlinewidth
  2032. 0.02381 0.31272 moveto
  2033. 0.02756 0.31272 lineto
  2034. stroke
  2035. grestore
  2036. gsave
  2037. 0.001 setlinewidth
  2038. 0.02381 0.33755 moveto
  2039. 0.02756 0.33755 lineto
  2040. stroke
  2041. grestore
  2042. gsave
  2043. 0.001 setlinewidth
  2044. 0.02381 0.36238 moveto
  2045. 0.02756 0.36238 lineto
  2046. stroke
  2047. grestore
  2048. gsave
  2049. 0.001 setlinewidth
  2050. 0.02381 0.41205 moveto
  2051. 0.02756 0.41205 lineto
  2052. stroke
  2053. grestore
  2054. gsave
  2055. 0.001 setlinewidth
  2056. 0.02381 0.43688 moveto
  2057. 0.02756 0.43688 lineto
  2058. stroke
  2059. grestore
  2060. gsave
  2061. 0.001 setlinewidth
  2062. 0.02381 0.46172 moveto
  2063. 0.02756 0.46172 lineto
  2064. stroke
  2065. grestore
  2066. gsave
  2067. 0.001 setlinewidth
  2068. 0.02381 0.48655 moveto
  2069. 0.02756 0.48655 lineto
  2070. stroke
  2071. grestore
  2072. gsave
  2073. 0.001 setlinewidth
  2074. 0.02381 0.53622 moveto
  2075. 0.02756 0.53622 lineto
  2076. stroke
  2077. grestore
  2078. gsave
  2079. 0.001 setlinewidth
  2080. 0.02381 0.56105 moveto
  2081. 0.02756 0.56105 lineto
  2082. stroke
  2083. grestore
  2084. gsave
  2085. 0.001 setlinewidth
  2086. 0.02381 0.58588 moveto
  2087. 0.02756 0.58588 lineto
  2088. stroke
  2089. grestore
  2090. gsave
  2091. 0.001 setlinewidth
  2092. 0.02381 0.61072 moveto
  2093. 0.02756 0.61072 lineto
  2094. stroke
  2095. grestore
  2096. gsave
  2097. 0.002 setlinewidth
  2098. 0.02381 0 moveto
  2099. 0.02381 0.61803 lineto
  2100. stroke
  2101. grestore
  2102. grestore
  2103. 0 0 moveto
  2104. 1 0 lineto
  2105. 1 0.61803 lineto
  2106. 0 0.61803 lineto
  2107. closepath
  2108. clip
  2109. newpath
  2110. gsave
  2111. gsave
  2112. gsave
  2113. 0.25 setgray
  2114. 0.02381 0.01472 moveto
  2115. 0.02381 0.32513 lineto
  2116. 0.05556 0.31446 lineto
  2117. 0.0873 0.28854 lineto
  2118. 0.0873 0.01472 lineto
  2119. 0.02381 0.01472 lineto
  2120. fill
  2121. grestore
  2122. grestore
  2123. gsave
  2124. gsave
  2125. gsave
  2126. 0.015 setlinewidth
  2127. 0.02381 0.32513 moveto
  2128. 0.02505 0.32511 lineto
  2129. 0.02629 0.32506 lineto
  2130. 0.02753 0.32497 lineto
  2131. 0.02877 0.32484 lineto
  2132. 0.03125 0.32447 lineto
  2133. 0.03373 0.32398 lineto
  2134. 0.03869 0.32259 lineto
  2135. 0.04365 0.32072 lineto
  2136. 0.05357 0.31566 lineto
  2137. 0.06349 0.30908 lineto
  2138. 0.10317 0.27225 lineto
  2139. 0.14286 0.22763 lineto
  2140. 0.18254 0.18392 lineto
  2141. 0.22222 0.14665 lineto
  2142. 0.24206 0.13147 lineto
  2143. 0.2619 0.11893 lineto
  2144. 0.28175 0.10916 lineto
  2145. 0.29167 0.10534 lineto
  2146. 0.30159 0.10222 lineto
  2147. 0.31151 0.09981 lineto
  2148. 0.31647 0.09886 lineto
  2149. 0.32143 0.0981 lineto
  2150. 0.32639 0.0975 lineto
  2151. 0.32887 0.09727 lineto
  2152. 0.33135 0.09708 lineto
  2153. 0.33383 0.09693 lineto
  2154. 0.33507 0.09687 lineto
  2155. 0.33631 0.09682 lineto
  2156. 0.33755 0.09679 lineto
  2157. 0.33879 0.09676 lineto
  2158. 0.34003 0.09675 lineto
  2159. 0.34127 0.09674 lineto
  2160. 0.34251 0.09675 lineto
  2161. 0.34375 0.09676 lineto
  2162. 0.34499 0.09679 lineto
  2163. 0.34623 0.09682 lineto
  2164. 0.34871 0.09693 lineto
  2165. 0.35119 0.09707 lineto
  2166. 0.35367 0.09726 lineto
  2167. 0.35615 0.09748 lineto
  2168. 0.36111 0.09806 lineto
  2169. 0.37103 0.09968 lineto
  2170. 0.38095 0.10193 lineto
  2171. 0.40079 0.10819 lineto
  2172. 0.42063 0.11669 lineto
  2173. 0.46032 0.13965 lineto
  2174. 0.5 0.16929 lineto
  2175. 0.53968 0.20408 lineto
  2176. 0.57937 0.24253 lineto
  2177. Mistroke
  2178. 0.61905 0.28329 lineto
  2179. 0.65873 0.32513 lineto
  2180. 0.69841 0.36699 lineto
  2181. 0.7381 0.40795 lineto
  2182. 0.77778 0.44728 lineto
  2183. 0.81746 0.48439 lineto
  2184. 0.85714 0.51882 lineto
  2185. 0.89683 0.55024 lineto
  2186. 0.93651 0.57845 lineto
  2187. 0.97619 0.60332 lineto
  2188. Mfstroke
  2189. grestore
  2190. grestore
  2191. grestore
  2192. grestore
  2193. % End of Graphics
  2194. MathPictureEnd
  2195. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; ]
  2196. %!
  2197. %%Creator: Mathematica
  2198. %%AspectRatio: 0.61803 
  2199. MathPictureStart
  2200. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  2201. % Scaling calculations
  2202. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  2203. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  2204. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  2205. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  2206. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  2207. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  2208. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  2209. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  2210. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  2211. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  2212. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  2213. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  2214. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  2215. ] MathScale
  2216. % Start of Graphics
  2217. 1 setlinecap
  2218. 1 setlinejoin
  2219. newpath
  2220. %%Object: Graphics
  2221. [ ] 0 setdash
  2222. 0 setgray
  2223. gsave
  2224. gsave
  2225. 0.002 setlinewidth
  2226. 0.18254 0.01472 moveto
  2227. 0.18254 0.02097 lineto
  2228. stroke
  2229. grestore
  2230. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  2231. gsave
  2232. 0.002 setlinewidth
  2233. 0.34127 0.01472 moveto
  2234. 0.34127 0.02097 lineto
  2235. stroke
  2236. grestore
  2237. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  2238. gsave
  2239. 0.002 setlinewidth
  2240. 0.5 0.01472 moveto
  2241. 0.5 0.02097 lineto
  2242. stroke
  2243. grestore
  2244. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  2245. gsave
  2246. 0.002 setlinewidth
  2247. 0.65873 0.01472 moveto
  2248. 0.65873 0.02097 lineto
  2249. stroke
  2250. grestore
  2251. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  2252. gsave
  2253. 0.002 setlinewidth
  2254. 0.81746 0.01472 moveto
  2255. 0.81746 0.02097 lineto
  2256. stroke
  2257. grestore
  2258. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  2259. gsave
  2260. 0.002 setlinewidth
  2261. 0.97619 0.01472 moveto
  2262. 0.97619 0.02097 lineto
  2263. stroke
  2264. grestore
  2265. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  2266. gsave
  2267. 0.001 setlinewidth
  2268. 0.05556 0.01472 moveto
  2269. 0.05556 0.01847 lineto
  2270. stroke
  2271. grestore
  2272. gsave
  2273. 0.001 setlinewidth
  2274. 0.0873 0.01472 moveto
  2275. 0.0873 0.01847 lineto
  2276. stroke
  2277. grestore
  2278. gsave
  2279. 0.001 setlinewidth
  2280. 0.11905 0.01472 moveto
  2281. 0.11905 0.01847 lineto
  2282. stroke
  2283. grestore
  2284. gsave
  2285. 0.001 setlinewidth
  2286. 0.15079 0.01472 moveto
  2287. 0.15079 0.01847 lineto
  2288. stroke
  2289. grestore
  2290. gsave
  2291. 0.001 setlinewidth
  2292. 0.21429 0.01472 moveto
  2293. 0.21429 0.01847 lineto
  2294. stroke
  2295. grestore
  2296. gsave
  2297. 0.001 setlinewidth
  2298. 0.24603 0.01472 moveto
  2299. 0.24603 0.01847 lineto
  2300. stroke
  2301. grestore
  2302. gsave
  2303. 0.001 setlinewidth
  2304. 0.27778 0.01472 moveto
  2305. 0.27778 0.01847 lineto
  2306. stroke
  2307. grestore
  2308. gsave
  2309. 0.001 setlinewidth
  2310. 0.30952 0.01472 moveto
  2311. 0.30952 0.01847 lineto
  2312. stroke
  2313. grestore
  2314. gsave
  2315. 0.001 setlinewidth
  2316. 0.37302 0.01472 moveto
  2317. 0.37302 0.01847 lineto
  2318. stroke
  2319. grestore
  2320. gsave
  2321. 0.001 setlinewidth
  2322. 0.40476 0.01472 moveto
  2323. 0.40476 0.01847 lineto
  2324. stroke
  2325. grestore
  2326. gsave
  2327. 0.001 setlinewidth
  2328. 0.43651 0.01472 moveto
  2329. 0.43651 0.01847 lineto
  2330. stroke
  2331. grestore
  2332. gsave
  2333. 0.001 setlinewidth
  2334. 0.46825 0.01472 moveto
  2335. 0.46825 0.01847 lineto
  2336. stroke
  2337. grestore
  2338. gsave
  2339. 0.001 setlinewidth
  2340. 0.53175 0.01472 moveto
  2341. 0.53175 0.01847 lineto
  2342. stroke
  2343. grestore
  2344. gsave
  2345. 0.001 setlinewidth
  2346. 0.56349 0.01472 moveto
  2347. 0.56349 0.01847 lineto
  2348. stroke
  2349. grestore
  2350. gsave
  2351. 0.001 setlinewidth
  2352. 0.59524 0.01472 moveto
  2353. 0.59524 0.01847 lineto
  2354. stroke
  2355. grestore
  2356. gsave
  2357. 0.001 setlinewidth
  2358. 0.62698 0.01472 moveto
  2359. 0.62698 0.01847 lineto
  2360. stroke
  2361. grestore
  2362. gsave
  2363. 0.001 setlinewidth
  2364. 0.69048 0.01472 moveto
  2365. 0.69048 0.01847 lineto
  2366. stroke
  2367. grestore
  2368. gsave
  2369. 0.001 setlinewidth
  2370. 0.72222 0.01472 moveto
  2371. 0.72222 0.01847 lineto
  2372. stroke
  2373. grestore
  2374. gsave
  2375. 0.001 setlinewidth
  2376. 0.75397 0.01472 moveto
  2377. 0.75397 0.01847 lineto
  2378. stroke
  2379. grestore
  2380. gsave
  2381. 0.001 setlinewidth
  2382. 0.78571 0.01472 moveto
  2383. 0.78571 0.01847 lineto
  2384. stroke
  2385. grestore
  2386. gsave
  2387. 0.001 setlinewidth
  2388. 0.84921 0.01472 moveto
  2389. 0.84921 0.01847 lineto
  2390. stroke
  2391. grestore
  2392. gsave
  2393. 0.001 setlinewidth
  2394. 0.88095 0.01472 moveto
  2395. 0.88095 0.01847 lineto
  2396. stroke
  2397. grestore
  2398. gsave
  2399. 0.001 setlinewidth
  2400. 0.9127 0.01472 moveto
  2401. 0.9127 0.01847 lineto
  2402. stroke
  2403. grestore
  2404. gsave
  2405. 0.001 setlinewidth
  2406. 0.94444 0.01472 moveto
  2407. 0.94444 0.01847 lineto
  2408. stroke
  2409. grestore
  2410. gsave
  2411. 0.002 setlinewidth
  2412. 0 0.01472 moveto
  2413. 1 0.01472 lineto
  2414. stroke
  2415. grestore
  2416. gsave
  2417. 0.002 setlinewidth
  2418. 0.02381 0.13888 moveto
  2419. 0.03006 0.13888 lineto
  2420. stroke
  2421. grestore
  2422. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  2423. gsave
  2424. 0.002 setlinewidth
  2425. 0.02381 0.26305 moveto
  2426. 0.03006 0.26305 lineto
  2427. stroke
  2428. grestore
  2429. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  2430. gsave
  2431. 0.002 setlinewidth
  2432. 0.02381 0.38722 moveto
  2433. 0.03006 0.38722 lineto
  2434. stroke
  2435. grestore
  2436. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  2437. gsave
  2438. 0.002 setlinewidth
  2439. 0.02381 0.51138 moveto
  2440. 0.03006 0.51138 lineto
  2441. stroke
  2442. grestore
  2443. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  2444. gsave
  2445. 0.001 setlinewidth
  2446. 0.02381 0.03955 moveto
  2447. 0.02756 0.03955 lineto
  2448. stroke
  2449. grestore
  2450. gsave
  2451. 0.001 setlinewidth
  2452. 0.02381 0.06438 moveto
  2453. 0.02756 0.06438 lineto
  2454. stroke
  2455. grestore
  2456. gsave
  2457. 0.001 setlinewidth
  2458. 0.02381 0.08922 moveto
  2459. 0.02756 0.08922 lineto
  2460. stroke
  2461. grestore
  2462. gsave
  2463. 0.001 setlinewidth
  2464. 0.02381 0.11405 moveto
  2465. 0.02756 0.11405 lineto
  2466. stroke
  2467. grestore
  2468. gsave
  2469. 0.001 setlinewidth
  2470. 0.02381 0.16372 moveto
  2471. 0.02756 0.16372 lineto
  2472. stroke
  2473. grestore
  2474. gsave
  2475. 0.001 setlinewidth
  2476. 0.02381 0.18855 moveto
  2477. 0.02756 0.18855 lineto
  2478. stroke
  2479. grestore
  2480. gsave
  2481. 0.001 setlinewidth
  2482. 0.02381 0.21338 moveto
  2483. 0.02756 0.21338 lineto
  2484. stroke
  2485. grestore
  2486. gsave
  2487. 0.001 setlinewidth
  2488. 0.02381 0.23822 moveto
  2489. 0.02756 0.23822 lineto
  2490. stroke
  2491. grestore
  2492. gsave
  2493. 0.001 setlinewidth
  2494. 0.02381 0.28788 moveto
  2495. 0.02756 0.28788 lineto
  2496. stroke
  2497. grestore
  2498. gsave
  2499. 0.001 setlinewidth
  2500. 0.02381 0.31272 moveto
  2501. 0.02756 0.31272 lineto
  2502. stroke
  2503. grestore
  2504. gsave
  2505. 0.001 setlinewidth
  2506. 0.02381 0.33755 moveto
  2507. 0.02756 0.33755 lineto
  2508. stroke
  2509. grestore
  2510. gsave
  2511. 0.001 setlinewidth
  2512. 0.02381 0.36238 moveto
  2513. 0.02756 0.36238 lineto
  2514. stroke
  2515. grestore
  2516. gsave
  2517. 0.001 setlinewidth
  2518. 0.02381 0.41205 moveto
  2519. 0.02756 0.41205 lineto
  2520. stroke
  2521. grestore
  2522. gsave
  2523. 0.001 setlinewidth
  2524. 0.02381 0.43688 moveto
  2525. 0.02756 0.43688 lineto
  2526. stroke
  2527. grestore
  2528. gsave
  2529. 0.001 setlinewidth
  2530. 0.02381 0.46172 moveto
  2531. 0.02756 0.46172 lineto
  2532. stroke
  2533. grestore
  2534. gsave
  2535. 0.001 setlinewidth
  2536. 0.02381 0.48655 moveto
  2537. 0.02756 0.48655 lineto
  2538. stroke
  2539. grestore
  2540. gsave
  2541. 0.001 setlinewidth
  2542. 0.02381 0.53622 moveto
  2543. 0.02756 0.53622 lineto
  2544. stroke
  2545. grestore
  2546. gsave
  2547. 0.001 setlinewidth
  2548. 0.02381 0.56105 moveto
  2549. 0.02756 0.56105 lineto
  2550. stroke
  2551. grestore
  2552. gsave
  2553. 0.001 setlinewidth
  2554. 0.02381 0.58588 moveto
  2555. 0.02756 0.58588 lineto
  2556. stroke
  2557. grestore
  2558. gsave
  2559. 0.001 setlinewidth
  2560. 0.02381 0.61072 moveto
  2561. 0.02756 0.61072 lineto
  2562. stroke
  2563. grestore
  2564. gsave
  2565. 0.002 setlinewidth
  2566. 0.02381 0 moveto
  2567. 0.02381 0.61803 lineto
  2568. stroke
  2569. grestore
  2570. grestore
  2571. 0 0 moveto
  2572. 1 0 lineto
  2573. 1 0.61803 lineto
  2574. 0 0.61803 lineto
  2575. closepath
  2576. clip
  2577. newpath
  2578. gsave
  2579. gsave
  2580. gsave
  2581. 0.25 setgray
  2582. 0.02381 0.01472 moveto
  2583. 0.02381 0.32513 lineto
  2584. 0.05556 0.31446 lineto
  2585. 0.0873 0.28854 lineto
  2586. 0.11905 0.25476 lineto
  2587. 0.15079 0.2186 lineto
  2588. 0.15079 0.01472 lineto
  2589. 0.02381 0.01472 lineto
  2590. fill
  2591. grestore
  2592. grestore
  2593. gsave
  2594. gsave
  2595. gsave
  2596. 0.015 setlinewidth
  2597. 0.02381 0.32513 moveto
  2598. 0.02505 0.32511 lineto
  2599. 0.02629 0.32506 lineto
  2600. 0.02753 0.32497 lineto
  2601. 0.02877 0.32484 lineto
  2602. 0.03125 0.32447 lineto
  2603. 0.03373 0.32398 lineto
  2604. 0.03869 0.32259 lineto
  2605. 0.04365 0.32072 lineto
  2606. 0.05357 0.31566 lineto
  2607. 0.06349 0.30908 lineto
  2608. 0.10317 0.27225 lineto
  2609. 0.14286 0.22763 lineto
  2610. 0.18254 0.18392 lineto
  2611. 0.22222 0.14665 lineto
  2612. 0.24206 0.13147 lineto
  2613. 0.2619 0.11893 lineto
  2614. 0.28175 0.10916 lineto
  2615. 0.29167 0.10534 lineto
  2616. 0.30159 0.10222 lineto
  2617. 0.31151 0.09981 lineto
  2618. 0.31647 0.09886 lineto
  2619. 0.32143 0.0981 lineto
  2620. 0.32639 0.0975 lineto
  2621. 0.32887 0.09727 lineto
  2622. 0.33135 0.09708 lineto
  2623. 0.33383 0.09693 lineto
  2624. 0.33507 0.09687 lineto
  2625. 0.33631 0.09682 lineto
  2626. 0.33755 0.09679 lineto
  2627. 0.33879 0.09676 lineto
  2628. 0.34003 0.09675 lineto
  2629. 0.34127 0.09674 lineto
  2630. 0.34251 0.09675 lineto
  2631. 0.34375 0.09676 lineto
  2632. 0.34499 0.09679 lineto
  2633. 0.34623 0.09682 lineto
  2634. 0.34871 0.09693 lineto
  2635. 0.35119 0.09707 lineto
  2636. 0.35367 0.09726 lineto
  2637. 0.35615 0.09748 lineto
  2638. 0.36111 0.09806 lineto
  2639. 0.37103 0.09968 lineto
  2640. 0.38095 0.10193 lineto
  2641. 0.40079 0.10819 lineto
  2642. 0.42063 0.11669 lineto
  2643. 0.46032 0.13965 lineto
  2644. 0.5 0.16929 lineto
  2645. 0.53968 0.20408 lineto
  2646. 0.57937 0.24253 lineto
  2647. Mistroke
  2648. 0.61905 0.28329 lineto
  2649. 0.65873 0.32513 lineto
  2650. 0.69841 0.36699 lineto
  2651. 0.7381 0.40795 lineto
  2652. 0.77778 0.44728 lineto
  2653. 0.81746 0.48439 lineto
  2654. 0.85714 0.51882 lineto
  2655. 0.89683 0.55024 lineto
  2656. 0.93651 0.57845 lineto
  2657. 0.97619 0.60332 lineto
  2658. Mfstroke
  2659. grestore
  2660. grestore
  2661. grestore
  2662. grestore
  2663. % End of Graphics
  2664. MathPictureEnd
  2665. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; ]
  2666. %!
  2667. %%Creator: Mathematica
  2668. %%AspectRatio: 0.61803 
  2669. MathPictureStart
  2670. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  2671. % Scaling calculations
  2672. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  2673. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  2674. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  2675. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  2676. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  2677. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  2678. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  2679. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  2680. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  2681. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  2682. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  2683. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  2684. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  2685. ] MathScale
  2686. % Start of Graphics
  2687. 1 setlinecap
  2688. 1 setlinejoin
  2689. newpath
  2690. %%Object: Graphics
  2691. [ ] 0 setdash
  2692. 0 setgray
  2693. gsave
  2694. gsave
  2695. 0.002 setlinewidth
  2696. 0.18254 0.01472 moveto
  2697. 0.18254 0.02097 lineto
  2698. stroke
  2699. grestore
  2700. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  2701. gsave
  2702. 0.002 setlinewidth
  2703. 0.34127 0.01472 moveto
  2704. 0.34127 0.02097 lineto
  2705. stroke
  2706. grestore
  2707. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  2708. gsave
  2709. 0.002 setlinewidth
  2710. 0.5 0.01472 moveto
  2711. 0.5 0.02097 lineto
  2712. stroke
  2713. grestore
  2714. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  2715. gsave
  2716. 0.002 setlinewidth
  2717. 0.65873 0.01472 moveto
  2718. 0.65873 0.02097 lineto
  2719. stroke
  2720. grestore
  2721. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  2722. gsave
  2723. 0.002 setlinewidth
  2724. 0.81746 0.01472 moveto
  2725. 0.81746 0.02097 lineto
  2726. stroke
  2727. grestore
  2728. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  2729. gsave
  2730. 0.002 setlinewidth
  2731. 0.97619 0.01472 moveto
  2732. 0.97619 0.02097 lineto
  2733. stroke
  2734. grestore
  2735. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  2736. gsave
  2737. 0.001 setlinewidth
  2738. 0.05556 0.01472 moveto
  2739. 0.05556 0.01847 lineto
  2740. stroke
  2741. grestore
  2742. gsave
  2743. 0.001 setlinewidth
  2744. 0.0873 0.01472 moveto
  2745. 0.0873 0.01847 lineto
  2746. stroke
  2747. grestore
  2748. gsave
  2749. 0.001 setlinewidth
  2750. 0.11905 0.01472 moveto
  2751. 0.11905 0.01847 lineto
  2752. stroke
  2753. grestore
  2754. gsave
  2755. 0.001 setlinewidth
  2756. 0.15079 0.01472 moveto
  2757. 0.15079 0.01847 lineto
  2758. stroke
  2759. grestore
  2760. gsave
  2761. 0.001 setlinewidth
  2762. 0.21429 0.01472 moveto
  2763. 0.21429 0.01847 lineto
  2764. stroke
  2765. grestore
  2766. gsave
  2767. 0.001 setlinewidth
  2768. 0.24603 0.01472 moveto
  2769. 0.24603 0.01847 lineto
  2770. stroke
  2771. grestore
  2772. gsave
  2773. 0.001 setlinewidth
  2774. 0.27778 0.01472 moveto
  2775. 0.27778 0.01847 lineto
  2776. stroke
  2777. grestore
  2778. gsave
  2779. 0.001 setlinewidth
  2780. 0.30952 0.01472 moveto
  2781. 0.30952 0.01847 lineto
  2782. stroke
  2783. grestore
  2784. gsave
  2785. 0.001 setlinewidth
  2786. 0.37302 0.01472 moveto
  2787. 0.37302 0.01847 lineto
  2788. stroke
  2789. grestore
  2790. gsave
  2791. 0.001 setlinewidth
  2792. 0.40476 0.01472 moveto
  2793. 0.40476 0.01847 lineto
  2794. stroke
  2795. grestore
  2796. gsave
  2797. 0.001 setlinewidth
  2798. 0.43651 0.01472 moveto
  2799. 0.43651 0.01847 lineto
  2800. stroke
  2801. grestore
  2802. gsave
  2803. 0.001 setlinewidth
  2804. 0.46825 0.01472 moveto
  2805. 0.46825 0.01847 lineto
  2806. stroke
  2807. grestore
  2808. gsave
  2809. 0.001 setlinewidth
  2810. 0.53175 0.01472 moveto
  2811. 0.53175 0.01847 lineto
  2812. stroke
  2813. grestore
  2814. gsave
  2815. 0.001 setlinewidth
  2816. 0.56349 0.01472 moveto
  2817. 0.56349 0.01847 lineto
  2818. stroke
  2819. grestore
  2820. gsave
  2821. 0.001 setlinewidth
  2822. 0.59524 0.01472 moveto
  2823. 0.59524 0.01847 lineto
  2824. stroke
  2825. grestore
  2826. gsave
  2827. 0.001 setlinewidth
  2828. 0.62698 0.01472 moveto
  2829. 0.62698 0.01847 lineto
  2830. stroke
  2831. grestore
  2832. gsave
  2833. 0.001 setlinewidth
  2834. 0.69048 0.01472 moveto
  2835. 0.69048 0.01847 lineto
  2836. stroke
  2837. grestore
  2838. gsave
  2839. 0.001 setlinewidth
  2840. 0.72222 0.01472 moveto
  2841. 0.72222 0.01847 lineto
  2842. stroke
  2843. grestore
  2844. gsave
  2845. 0.001 setlinewidth
  2846. 0.75397 0.01472 moveto
  2847. 0.75397 0.01847 lineto
  2848. stroke
  2849. grestore
  2850. gsave
  2851. 0.001 setlinewidth
  2852. 0.78571 0.01472 moveto
  2853. 0.78571 0.01847 lineto
  2854. stroke
  2855. grestore
  2856. gsave
  2857. 0.001 setlinewidth
  2858. 0.84921 0.01472 moveto
  2859. 0.84921 0.01847 lineto
  2860. stroke
  2861. grestore
  2862. gsave
  2863. 0.001 setlinewidth
  2864. 0.88095 0.01472 moveto
  2865. 0.88095 0.01847 lineto
  2866. stroke
  2867. grestore
  2868. gsave
  2869. 0.001 setlinewidth
  2870. 0.9127 0.01472 moveto
  2871. 0.9127 0.01847 lineto
  2872. stroke
  2873. grestore
  2874. gsave
  2875. 0.001 setlinewidth
  2876. 0.94444 0.01472 moveto
  2877. 0.94444 0.01847 lineto
  2878. stroke
  2879. grestore
  2880. gsave
  2881. 0.002 setlinewidth
  2882. 0 0.01472 moveto
  2883. 1 0.01472 lineto
  2884. stroke
  2885. grestore
  2886. gsave
  2887. 0.002 setlinewidth
  2888. 0.02381 0.13888 moveto
  2889. 0.03006 0.13888 lineto
  2890. stroke
  2891. grestore
  2892. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  2893. gsave
  2894. 0.002 setlinewidth
  2895. 0.02381 0.26305 moveto
  2896. 0.03006 0.26305 lineto
  2897. stroke
  2898. grestore
  2899. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  2900. gsave
  2901. 0.002 setlinewidth
  2902. 0.02381 0.38722 moveto
  2903. 0.03006 0.38722 lineto
  2904. stroke
  2905. grestore
  2906. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  2907. gsave
  2908. 0.002 setlinewidth
  2909. 0.02381 0.51138 moveto
  2910. 0.03006 0.51138 lineto
  2911. stroke
  2912. grestore
  2913. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  2914. gsave
  2915. 0.001 setlinewidth
  2916. 0.02381 0.03955 moveto
  2917. 0.02756 0.03955 lineto
  2918. stroke
  2919. grestore
  2920. gsave
  2921. 0.001 setlinewidth
  2922. 0.02381 0.06438 moveto
  2923. 0.02756 0.06438 lineto
  2924. stroke
  2925. grestore
  2926. gsave
  2927. 0.001 setlinewidth
  2928. 0.02381 0.08922 moveto
  2929. 0.02756 0.08922 lineto
  2930. stroke
  2931. grestore
  2932. gsave
  2933. 0.001 setlinewidth
  2934. 0.02381 0.11405 moveto
  2935. 0.02756 0.11405 lineto
  2936. stroke
  2937. grestore
  2938. gsave
  2939. 0.001 setlinewidth
  2940. 0.02381 0.16372 moveto
  2941. 0.02756 0.16372 lineto
  2942. stroke
  2943. grestore
  2944. gsave
  2945. 0.001 setlinewidth
  2946. 0.02381 0.18855 moveto
  2947. 0.02756 0.18855 lineto
  2948. stroke
  2949. grestore
  2950. gsave
  2951. 0.001 setlinewidth
  2952. 0.02381 0.21338 moveto
  2953. 0.02756 0.21338 lineto
  2954. stroke
  2955. grestore
  2956. gsave
  2957. 0.001 setlinewidth
  2958. 0.02381 0.23822 moveto
  2959. 0.02756 0.23822 lineto
  2960. stroke
  2961. grestore
  2962. gsave
  2963. 0.001 setlinewidth
  2964. 0.02381 0.28788 moveto
  2965. 0.02756 0.28788 lineto
  2966. stroke
  2967. grestore
  2968. gsave
  2969. 0.001 setlinewidth
  2970. 0.02381 0.31272 moveto
  2971. 0.02756 0.31272 lineto
  2972. stroke
  2973. grestore
  2974. gsave
  2975. 0.001 setlinewidth
  2976. 0.02381 0.33755 moveto
  2977. 0.02756 0.33755 lineto
  2978. stroke
  2979. grestore
  2980. gsave
  2981. 0.001 setlinewidth
  2982. 0.02381 0.36238 moveto
  2983. 0.02756 0.36238 lineto
  2984. stroke
  2985. grestore
  2986. gsave
  2987. 0.001 setlinewidth
  2988. 0.02381 0.41205 moveto
  2989. 0.02756 0.41205 lineto
  2990. stroke
  2991. grestore
  2992. gsave
  2993. 0.001 setlinewidth
  2994. 0.02381 0.43688 moveto
  2995. 0.02756 0.43688 lineto
  2996. stroke
  2997. grestore
  2998. gsave
  2999. 0.001 setlinewidth
  3000. 0.02381 0.46172 moveto
  3001. 0.02756 0.46172 lineto
  3002. stroke
  3003. grestore
  3004. gsave
  3005. 0.001 setlinewidth
  3006. 0.02381 0.48655 moveto
  3007. 0.02756 0.48655 lineto
  3008. stroke
  3009. grestore
  3010. gsave
  3011. 0.001 setlinewidth
  3012. 0.02381 0.53622 moveto
  3013. 0.02756 0.53622 lineto
  3014. stroke
  3015. grestore
  3016. gsave
  3017. 0.001 setlinewidth
  3018. 0.02381 0.56105 moveto
  3019. 0.02756 0.56105 lineto
  3020. stroke
  3021. grestore
  3022. gsave
  3023. 0.001 setlinewidth
  3024. 0.02381 0.58588 moveto
  3025. 0.02756 0.58588 lineto
  3026. stroke
  3027. grestore
  3028. gsave
  3029. 0.001 setlinewidth
  3030. 0.02381 0.61072 moveto
  3031. 0.02756 0.61072 lineto
  3032. stroke
  3033. grestore
  3034. gsave
  3035. 0.002 setlinewidth
  3036. 0.02381 0 moveto
  3037. 0.02381 0.61803 lineto
  3038. stroke
  3039. grestore
  3040. grestore
  3041. 0 0 moveto
  3042. 1 0 lineto
  3043. 1 0.61803 lineto
  3044. 0 0.61803 lineto
  3045. closepath
  3046. clip
  3047. newpath
  3048. gsave
  3049. gsave
  3050. gsave
  3051. 0.25 setgray
  3052. 0.02381 0.01472 moveto
  3053. 0.02381 0.32513 lineto
  3054. 0.05556 0.31446 lineto
  3055. 0.0873 0.28854 lineto
  3056. 0.11905 0.25476 lineto
  3057. 0.15079 0.2186 lineto
  3058. 0.18254 0.18392 lineto
  3059. 0.21429 0.15341 lineto
  3060. 0.21429 0.01472 lineto
  3061. 0.02381 0.01472 lineto
  3062. fill
  3063. grestore
  3064. grestore
  3065. gsave
  3066. gsave
  3067. gsave
  3068. 0.015 setlinewidth
  3069. 0.02381 0.32513 moveto
  3070. 0.02505 0.32511 lineto
  3071. 0.02629 0.32506 lineto
  3072. 0.02753 0.32497 lineto
  3073. 0.02877 0.32484 lineto
  3074. 0.03125 0.32447 lineto
  3075. 0.03373 0.32398 lineto
  3076. 0.03869 0.32259 lineto
  3077. 0.04365 0.32072 lineto
  3078. 0.05357 0.31566 lineto
  3079. 0.06349 0.30908 lineto
  3080. 0.10317 0.27225 lineto
  3081. 0.14286 0.22763 lineto
  3082. 0.18254 0.18392 lineto
  3083. 0.22222 0.14665 lineto
  3084. 0.24206 0.13147 lineto
  3085. 0.2619 0.11893 lineto
  3086. 0.28175 0.10916 lineto
  3087. 0.29167 0.10534 lineto
  3088. 0.30159 0.10222 lineto
  3089. 0.31151 0.09981 lineto
  3090. 0.31647 0.09886 lineto
  3091. 0.32143 0.0981 lineto
  3092. 0.32639 0.0975 lineto
  3093. 0.32887 0.09727 lineto
  3094. 0.33135 0.09708 lineto
  3095. 0.33383 0.09693 lineto
  3096. 0.33507 0.09687 lineto
  3097. 0.33631 0.09682 lineto
  3098. 0.33755 0.09679 lineto
  3099. 0.33879 0.09676 lineto
  3100. 0.34003 0.09675 lineto
  3101. 0.34127 0.09674 lineto
  3102. 0.34251 0.09675 lineto
  3103. 0.34375 0.09676 lineto
  3104. 0.34499 0.09679 lineto
  3105. 0.34623 0.09682 lineto
  3106. 0.34871 0.09693 lineto
  3107. 0.35119 0.09707 lineto
  3108. 0.35367 0.09726 lineto
  3109. 0.35615 0.09748 lineto
  3110. 0.36111 0.09806 lineto
  3111. 0.37103 0.09968 lineto
  3112. 0.38095 0.10193 lineto
  3113. 0.40079 0.10819 lineto
  3114. 0.42063 0.11669 lineto
  3115. 0.46032 0.13965 lineto
  3116. 0.5 0.16929 lineto
  3117. 0.53968 0.20408 lineto
  3118. 0.57937 0.24253 lineto
  3119. Mistroke
  3120. 0.61905 0.28329 lineto
  3121. 0.65873 0.32513 lineto
  3122. 0.69841 0.36699 lineto
  3123. 0.7381 0.40795 lineto
  3124. 0.77778 0.44728 lineto
  3125. 0.81746 0.48439 lineto
  3126. 0.85714 0.51882 lineto
  3127. 0.89683 0.55024 lineto
  3128. 0.93651 0.57845 lineto
  3129. 0.97619 0.60332 lineto
  3130. Mfstroke
  3131. grestore
  3132. grestore
  3133. grestore
  3134. grestore
  3135. % End of Graphics
  3136. MathPictureEnd
  3137. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; ]
  3138. %!
  3139. %%Creator: Mathematica
  3140. %%AspectRatio: 0.61803 
  3141. MathPictureStart
  3142. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  3143. % Scaling calculations
  3144. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  3145. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  3146. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  3147. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  3148. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  3149. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  3150. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  3151. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  3152. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  3153. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  3154. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  3155. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  3156. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  3157. ] MathScale
  3158. % Start of Graphics
  3159. 1 setlinecap
  3160. 1 setlinejoin
  3161. newpath
  3162. %%Object: Graphics
  3163. [ ] 0 setdash
  3164. 0 setgray
  3165. gsave
  3166. gsave
  3167. 0.002 setlinewidth
  3168. 0.18254 0.01472 moveto
  3169. 0.18254 0.02097 lineto
  3170. stroke
  3171. grestore
  3172. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  3173. gsave
  3174. 0.002 setlinewidth
  3175. 0.34127 0.01472 moveto
  3176. 0.34127 0.02097 lineto
  3177. stroke
  3178. grestore
  3179. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  3180. gsave
  3181. 0.002 setlinewidth
  3182. 0.5 0.01472 moveto
  3183. 0.5 0.02097 lineto
  3184. stroke
  3185. grestore
  3186. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  3187. gsave
  3188. 0.002 setlinewidth
  3189. 0.65873 0.01472 moveto
  3190. 0.65873 0.02097 lineto
  3191. stroke
  3192. grestore
  3193. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  3194. gsave
  3195. 0.002 setlinewidth
  3196. 0.81746 0.01472 moveto
  3197. 0.81746 0.02097 lineto
  3198. stroke
  3199. grestore
  3200. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  3201. gsave
  3202. 0.002 setlinewidth
  3203. 0.97619 0.01472 moveto
  3204. 0.97619 0.02097 lineto
  3205. stroke
  3206. grestore
  3207. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  3208. gsave
  3209. 0.001 setlinewidth
  3210. 0.05556 0.01472 moveto
  3211. 0.05556 0.01847 lineto
  3212. stroke
  3213. grestore
  3214. gsave
  3215. 0.001 setlinewidth
  3216. 0.0873 0.01472 moveto
  3217. 0.0873 0.01847 lineto
  3218. stroke
  3219. grestore
  3220. gsave
  3221. 0.001 setlinewidth
  3222. 0.11905 0.01472 moveto
  3223. 0.11905 0.01847 lineto
  3224. stroke
  3225. grestore
  3226. gsave
  3227. 0.001 setlinewidth
  3228. 0.15079 0.01472 moveto
  3229. 0.15079 0.01847 lineto
  3230. stroke
  3231. grestore
  3232. gsave
  3233. 0.001 setlinewidth
  3234. 0.21429 0.01472 moveto
  3235. 0.21429 0.01847 lineto
  3236. stroke
  3237. grestore
  3238. gsave
  3239. 0.001 setlinewidth
  3240. 0.24603 0.01472 moveto
  3241. 0.24603 0.01847 lineto
  3242. stroke
  3243. grestore
  3244. gsave
  3245. 0.001 setlinewidth
  3246. 0.27778 0.01472 moveto
  3247. 0.27778 0.01847 lineto
  3248. stroke
  3249. grestore
  3250. gsave
  3251. 0.001 setlinewidth
  3252. 0.30952 0.01472 moveto
  3253. 0.30952 0.01847 lineto
  3254. stroke
  3255. grestore
  3256. gsave
  3257. 0.001 setlinewidth
  3258. 0.37302 0.01472 moveto
  3259. 0.37302 0.01847 lineto
  3260. stroke
  3261. grestore
  3262. gsave
  3263. 0.001 setlinewidth
  3264. 0.40476 0.01472 moveto
  3265. 0.40476 0.01847 lineto
  3266. stroke
  3267. grestore
  3268. gsave
  3269. 0.001 setlinewidth
  3270. 0.43651 0.01472 moveto
  3271. 0.43651 0.01847 lineto
  3272. stroke
  3273. grestore
  3274. gsave
  3275. 0.001 setlinewidth
  3276. 0.46825 0.01472 moveto
  3277. 0.46825 0.01847 lineto
  3278. stroke
  3279. grestore
  3280. gsave
  3281. 0.001 setlinewidth
  3282. 0.53175 0.01472 moveto
  3283. 0.53175 0.01847 lineto
  3284. stroke
  3285. grestore
  3286. gsave
  3287. 0.001 setlinewidth
  3288. 0.56349 0.01472 moveto
  3289. 0.56349 0.01847 lineto
  3290. stroke
  3291. grestore
  3292. gsave
  3293. 0.001 setlinewidth
  3294. 0.59524 0.01472 moveto
  3295. 0.59524 0.01847 lineto
  3296. stroke
  3297. grestore
  3298. gsave
  3299. 0.001 setlinewidth
  3300. 0.62698 0.01472 moveto
  3301. 0.62698 0.01847 lineto
  3302. stroke
  3303. grestore
  3304. gsave
  3305. 0.001 setlinewidth
  3306. 0.69048 0.01472 moveto
  3307. 0.69048 0.01847 lineto
  3308. stroke
  3309. grestore
  3310. gsave
  3311. 0.001 setlinewidth
  3312. 0.72222 0.01472 moveto
  3313. 0.72222 0.01847 lineto
  3314. stroke
  3315. grestore
  3316. gsave
  3317. 0.001 setlinewidth
  3318. 0.75397 0.01472 moveto
  3319. 0.75397 0.01847 lineto
  3320. stroke
  3321. grestore
  3322. gsave
  3323. 0.001 setlinewidth
  3324. 0.78571 0.01472 moveto
  3325. 0.78571 0.01847 lineto
  3326. stroke
  3327. grestore
  3328. gsave
  3329. 0.001 setlinewidth
  3330. 0.84921 0.01472 moveto
  3331. 0.84921 0.01847 lineto
  3332. stroke
  3333. grestore
  3334. gsave
  3335. 0.001 setlinewidth
  3336. 0.88095 0.01472 moveto
  3337. 0.88095 0.01847 lineto
  3338. stroke
  3339. grestore
  3340. gsave
  3341. 0.001 setlinewidth
  3342. 0.9127 0.01472 moveto
  3343. 0.9127 0.01847 lineto
  3344. stroke
  3345. grestore
  3346. gsave
  3347. 0.001 setlinewidth
  3348. 0.94444 0.01472 moveto
  3349. 0.94444 0.01847 lineto
  3350. stroke
  3351. grestore
  3352. gsave
  3353. 0.002 setlinewidth
  3354. 0 0.01472 moveto
  3355. 1 0.01472 lineto
  3356. stroke
  3357. grestore
  3358. gsave
  3359. 0.002 setlinewidth
  3360. 0.02381 0.13888 moveto
  3361. 0.03006 0.13888 lineto
  3362. stroke
  3363. grestore
  3364. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  3365. gsave
  3366. 0.002 setlinewidth
  3367. 0.02381 0.26305 moveto
  3368. 0.03006 0.26305 lineto
  3369. stroke
  3370. grestore
  3371. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  3372. gsave
  3373. 0.002 setlinewidth
  3374. 0.02381 0.38722 moveto
  3375. 0.03006 0.38722 lineto
  3376. stroke
  3377. grestore
  3378. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  3379. gsave
  3380. 0.002 setlinewidth
  3381. 0.02381 0.51138 moveto
  3382. 0.03006 0.51138 lineto
  3383. stroke
  3384. grestore
  3385. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  3386. gsave
  3387. 0.001 setlinewidth
  3388. 0.02381 0.03955 moveto
  3389. 0.02756 0.03955 lineto
  3390. stroke
  3391. grestore
  3392. gsave
  3393. 0.001 setlinewidth
  3394. 0.02381 0.06438 moveto
  3395. 0.02756 0.06438 lineto
  3396. stroke
  3397. grestore
  3398. gsave
  3399. 0.001 setlinewidth
  3400. 0.02381 0.08922 moveto
  3401. 0.02756 0.08922 lineto
  3402. stroke
  3403. grestore
  3404. gsave
  3405. 0.001 setlinewidth
  3406. 0.02381 0.11405 moveto
  3407. 0.02756 0.11405 lineto
  3408. stroke
  3409. grestore
  3410. gsave
  3411. 0.001 setlinewidth
  3412. 0.02381 0.16372 moveto
  3413. 0.02756 0.16372 lineto
  3414. stroke
  3415. grestore
  3416. gsave
  3417. 0.001 setlinewidth
  3418. 0.02381 0.18855 moveto
  3419. 0.02756 0.18855 lineto
  3420. stroke
  3421. grestore
  3422. gsave
  3423. 0.001 setlinewidth
  3424. 0.02381 0.21338 moveto
  3425. 0.02756 0.21338 lineto
  3426. stroke
  3427. grestore
  3428. gsave
  3429. 0.001 setlinewidth
  3430. 0.02381 0.23822 moveto
  3431. 0.02756 0.23822 lineto
  3432. stroke
  3433. grestore
  3434. gsave
  3435. 0.001 setlinewidth
  3436. 0.02381 0.28788 moveto
  3437. 0.02756 0.28788 lineto
  3438. stroke
  3439. grestore
  3440. gsave
  3441. 0.001 setlinewidth
  3442. 0.02381 0.31272 moveto
  3443. 0.02756 0.31272 lineto
  3444. stroke
  3445. grestore
  3446. gsave
  3447. 0.001 setlinewidth
  3448. 0.02381 0.33755 moveto
  3449. 0.02756 0.33755 lineto
  3450. stroke
  3451. grestore
  3452. gsave
  3453. 0.001 setlinewidth
  3454. 0.02381 0.36238 moveto
  3455. 0.02756 0.36238 lineto
  3456. stroke
  3457. grestore
  3458. gsave
  3459. 0.001 setlinewidth
  3460. 0.02381 0.41205 moveto
  3461. 0.02756 0.41205 lineto
  3462. stroke
  3463. grestore
  3464. gsave
  3465. 0.001 setlinewidth
  3466. 0.02381 0.43688 moveto
  3467. 0.02756 0.43688 lineto
  3468. stroke
  3469. grestore
  3470. gsave
  3471. 0.001 setlinewidth
  3472. 0.02381 0.46172 moveto
  3473. 0.02756 0.46172 lineto
  3474. stroke
  3475. grestore
  3476. gsave
  3477. 0.001 setlinewidth
  3478. 0.02381 0.48655 moveto
  3479. 0.02756 0.48655 lineto
  3480. stroke
  3481. grestore
  3482. gsave
  3483. 0.001 setlinewidth
  3484. 0.02381 0.53622 moveto
  3485. 0.02756 0.53622 lineto
  3486. stroke
  3487. grestore
  3488. gsave
  3489. 0.001 setlinewidth
  3490. 0.02381 0.56105 moveto
  3491. 0.02756 0.56105 lineto
  3492. stroke
  3493. grestore
  3494. gsave
  3495. 0.001 setlinewidth
  3496. 0.02381 0.58588 moveto
  3497. 0.02756 0.58588 lineto
  3498. stroke
  3499. grestore
  3500. gsave
  3501. 0.001 setlinewidth
  3502. 0.02381 0.61072 moveto
  3503. 0.02756 0.61072 lineto
  3504. stroke
  3505. grestore
  3506. gsave
  3507. 0.002 setlinewidth
  3508. 0.02381 0 moveto
  3509. 0.02381 0.61803 lineto
  3510. stroke
  3511. grestore
  3512. grestore
  3513. 0 0 moveto
  3514. 1 0 lineto
  3515. 1 0.61803 lineto
  3516. 0 0.61803 lineto
  3517. closepath
  3518. clip
  3519. newpath
  3520. gsave
  3521. gsave
  3522. gsave
  3523. 0.25 setgray
  3524. 0.02381 0.01472 moveto
  3525. 0.02381 0.32513 lineto
  3526. 0.05556 0.31446 lineto
  3527. 0.0873 0.28854 lineto
  3528. 0.11905 0.25476 lineto
  3529. 0.15079 0.2186 lineto
  3530. 0.18254 0.18392 lineto
  3531. 0.21429 0.15341 lineto
  3532. 0.24603 0.12875 lineto
  3533. 0.27778 0.11089 lineto
  3534. 0.27778 0.01472 lineto
  3535. 0.02381 0.01472 lineto
  3536. fill
  3537. grestore
  3538. grestore
  3539. gsave
  3540. gsave
  3541. gsave
  3542. 0.015 setlinewidth
  3543. 0.02381 0.32513 moveto
  3544. 0.02505 0.32511 lineto
  3545. 0.02629 0.32506 lineto
  3546. 0.02753 0.32497 lineto
  3547. 0.02877 0.32484 lineto
  3548. 0.03125 0.32447 lineto
  3549. 0.03373 0.32398 lineto
  3550. 0.03869 0.32259 lineto
  3551. 0.04365 0.32072 lineto
  3552. 0.05357 0.31566 lineto
  3553. 0.06349 0.30908 lineto
  3554. 0.10317 0.27225 lineto
  3555. 0.14286 0.22763 lineto
  3556. 0.18254 0.18392 lineto
  3557. 0.22222 0.14665 lineto
  3558. 0.24206 0.13147 lineto
  3559. 0.2619 0.11893 lineto
  3560. 0.28175 0.10916 lineto
  3561. 0.29167 0.10534 lineto
  3562. 0.30159 0.10222 lineto
  3563. 0.31151 0.09981 lineto
  3564. 0.31647 0.09886 lineto
  3565. 0.32143 0.0981 lineto
  3566. 0.32639 0.0975 lineto
  3567. 0.32887 0.09727 lineto
  3568. 0.33135 0.09708 lineto
  3569. 0.33383 0.09693 lineto
  3570. 0.33507 0.09687 lineto
  3571. 0.33631 0.09682 lineto
  3572. 0.33755 0.09679 lineto
  3573. 0.33879 0.09676 lineto
  3574. 0.34003 0.09675 lineto
  3575. 0.34127 0.09674 lineto
  3576. 0.34251 0.09675 lineto
  3577. 0.34375 0.09676 lineto
  3578. 0.34499 0.09679 lineto
  3579. 0.34623 0.09682 lineto
  3580. 0.34871 0.09693 lineto
  3581. 0.35119 0.09707 lineto
  3582. 0.35367 0.09726 lineto
  3583. 0.35615 0.09748 lineto
  3584. 0.36111 0.09806 lineto
  3585. 0.37103 0.09968 lineto
  3586. 0.38095 0.10193 lineto
  3587. 0.40079 0.10819 lineto
  3588. 0.42063 0.11669 lineto
  3589. 0.46032 0.13965 lineto
  3590. 0.5 0.16929 lineto
  3591. 0.53968 0.20408 lineto
  3592. 0.57937 0.24253 lineto
  3593. Mistroke
  3594. 0.61905 0.28329 lineto
  3595. 0.65873 0.32513 lineto
  3596. 0.69841 0.36699 lineto
  3597. 0.7381 0.40795 lineto
  3598. 0.77778 0.44728 lineto
  3599. 0.81746 0.48439 lineto
  3600. 0.85714 0.51882 lineto
  3601. 0.89683 0.55024 lineto
  3602. 0.93651 0.57845 lineto
  3603. 0.97619 0.60332 lineto
  3604. Mfstroke
  3605. grestore
  3606. grestore
  3607. grestore
  3608. grestore
  3609. % End of Graphics
  3610. MathPictureEnd
  3611. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; ]
  3612. %!
  3613. %%Creator: Mathematica
  3614. %%AspectRatio: 0.61803 
  3615. MathPictureStart
  3616. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  3617. % Scaling calculations
  3618. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  3619. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  3620. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  3621. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  3622. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  3623. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  3624. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  3625. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  3626. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  3627. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  3628. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  3629. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  3630. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  3631. ] MathScale
  3632. % Start of Graphics
  3633. 1 setlinecap
  3634. 1 setlinejoin
  3635. newpath
  3636. %%Object: Graphics
  3637. [ ] 0 setdash
  3638. 0 setgray
  3639. gsave
  3640. gsave
  3641. 0.002 setlinewidth
  3642. 0.18254 0.01472 moveto
  3643. 0.18254 0.02097 lineto
  3644. stroke
  3645. grestore
  3646. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  3647. gsave
  3648. 0.002 setlinewidth
  3649. 0.34127 0.01472 moveto
  3650. 0.34127 0.02097 lineto
  3651. stroke
  3652. grestore
  3653. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  3654. gsave
  3655. 0.002 setlinewidth
  3656. 0.5 0.01472 moveto
  3657. 0.5 0.02097 lineto
  3658. stroke
  3659. grestore
  3660. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  3661. gsave
  3662. 0.002 setlinewidth
  3663. 0.65873 0.01472 moveto
  3664. 0.65873 0.02097 lineto
  3665. stroke
  3666. grestore
  3667. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  3668. gsave
  3669. 0.002 setlinewidth
  3670. 0.81746 0.01472 moveto
  3671. 0.81746 0.02097 lineto
  3672. stroke
  3673. grestore
  3674. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  3675. gsave
  3676. 0.002 setlinewidth
  3677. 0.97619 0.01472 moveto
  3678. 0.97619 0.02097 lineto
  3679. stroke
  3680. grestore
  3681. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  3682. gsave
  3683. 0.001 setlinewidth
  3684. 0.05556 0.01472 moveto
  3685. 0.05556 0.01847 lineto
  3686. stroke
  3687. grestore
  3688. gsave
  3689. 0.001 setlinewidth
  3690. 0.0873 0.01472 moveto
  3691. 0.0873 0.01847 lineto
  3692. stroke
  3693. grestore
  3694. gsave
  3695. 0.001 setlinewidth
  3696. 0.11905 0.01472 moveto
  3697. 0.11905 0.01847 lineto
  3698. stroke
  3699. grestore
  3700. gsave
  3701. 0.001 setlinewidth
  3702. 0.15079 0.01472 moveto
  3703. 0.15079 0.01847 lineto
  3704. stroke
  3705. grestore
  3706. gsave
  3707. 0.001 setlinewidth
  3708. 0.21429 0.01472 moveto
  3709. 0.21429 0.01847 lineto
  3710. stroke
  3711. grestore
  3712. gsave
  3713. 0.001 setlinewidth
  3714. 0.24603 0.01472 moveto
  3715. 0.24603 0.01847 lineto
  3716. stroke
  3717. grestore
  3718. gsave
  3719. 0.001 setlinewidth
  3720. 0.27778 0.01472 moveto
  3721. 0.27778 0.01847 lineto
  3722. stroke
  3723. grestore
  3724. gsave
  3725. 0.001 setlinewidth
  3726. 0.30952 0.01472 moveto
  3727. 0.30952 0.01847 lineto
  3728. stroke
  3729. grestore
  3730. gsave
  3731. 0.001 setlinewidth
  3732. 0.37302 0.01472 moveto
  3733. 0.37302 0.01847 lineto
  3734. stroke
  3735. grestore
  3736. gsave
  3737. 0.001 setlinewidth
  3738. 0.40476 0.01472 moveto
  3739. 0.40476 0.01847 lineto
  3740. stroke
  3741. grestore
  3742. gsave
  3743. 0.001 setlinewidth
  3744. 0.43651 0.01472 moveto
  3745. 0.43651 0.01847 lineto
  3746. stroke
  3747. grestore
  3748. gsave
  3749. 0.001 setlinewidth
  3750. 0.46825 0.01472 moveto
  3751. 0.46825 0.01847 lineto
  3752. stroke
  3753. grestore
  3754. gsave
  3755. 0.001 setlinewidth
  3756. 0.53175 0.01472 moveto
  3757. 0.53175 0.01847 lineto
  3758. stroke
  3759. grestore
  3760. gsave
  3761. 0.001 setlinewidth
  3762. 0.56349 0.01472 moveto
  3763. 0.56349 0.01847 lineto
  3764. stroke
  3765. grestore
  3766. gsave
  3767. 0.001 setlinewidth
  3768. 0.59524 0.01472 moveto
  3769. 0.59524 0.01847 lineto
  3770. stroke
  3771. grestore
  3772. gsave
  3773. 0.001 setlinewidth
  3774. 0.62698 0.01472 moveto
  3775. 0.62698 0.01847 lineto
  3776. stroke
  3777. grestore
  3778. gsave
  3779. 0.001 setlinewidth
  3780. 0.69048 0.01472 moveto
  3781. 0.69048 0.01847 lineto
  3782. stroke
  3783. grestore
  3784. gsave
  3785. 0.001 setlinewidth
  3786. 0.72222 0.01472 moveto
  3787. 0.72222 0.01847 lineto
  3788. stroke
  3789. grestore
  3790. gsave
  3791. 0.001 setlinewidth
  3792. 0.75397 0.01472 moveto
  3793. 0.75397 0.01847 lineto
  3794. stroke
  3795. grestore
  3796. gsave
  3797. 0.001 setlinewidth
  3798. 0.78571 0.01472 moveto
  3799. 0.78571 0.01847 lineto
  3800. stroke
  3801. grestore
  3802. gsave
  3803. 0.001 setlinewidth
  3804. 0.84921 0.01472 moveto
  3805. 0.84921 0.01847 lineto
  3806. stroke
  3807. grestore
  3808. gsave
  3809. 0.001 setlinewidth
  3810. 0.88095 0.01472 moveto
  3811. 0.88095 0.01847 lineto
  3812. stroke
  3813. grestore
  3814. gsave
  3815. 0.001 setlinewidth
  3816. 0.9127 0.01472 moveto
  3817. 0.9127 0.01847 lineto
  3818. stroke
  3819. grestore
  3820. gsave
  3821. 0.001 setlinewidth
  3822. 0.94444 0.01472 moveto
  3823. 0.94444 0.01847 lineto
  3824. stroke
  3825. grestore
  3826. gsave
  3827. 0.002 setlinewidth
  3828. 0 0.01472 moveto
  3829. 1 0.01472 lineto
  3830. stroke
  3831. grestore
  3832. gsave
  3833. 0.002 setlinewidth
  3834. 0.02381 0.13888 moveto
  3835. 0.03006 0.13888 lineto
  3836. stroke
  3837. grestore
  3838. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  3839. gsave
  3840. 0.002 setlinewidth
  3841. 0.02381 0.26305 moveto
  3842. 0.03006 0.26305 lineto
  3843. stroke
  3844. grestore
  3845. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  3846. gsave
  3847. 0.002 setlinewidth
  3848. 0.02381 0.38722 moveto
  3849. 0.03006 0.38722 lineto
  3850. stroke
  3851. grestore
  3852. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  3853. gsave
  3854. 0.002 setlinewidth
  3855. 0.02381 0.51138 moveto
  3856. 0.03006 0.51138 lineto
  3857. stroke
  3858. grestore
  3859. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  3860. gsave
  3861. 0.001 setlinewidth
  3862. 0.02381 0.03955 moveto
  3863. 0.02756 0.03955 lineto
  3864. stroke
  3865. grestore
  3866. gsave
  3867. 0.001 setlinewidth
  3868. 0.02381 0.06438 moveto
  3869. 0.02756 0.06438 lineto
  3870. stroke
  3871. grestore
  3872. gsave
  3873. 0.001 setlinewidth
  3874. 0.02381 0.08922 moveto
  3875. 0.02756 0.08922 lineto
  3876. stroke
  3877. grestore
  3878. gsave
  3879. 0.001 setlinewidth
  3880. 0.02381 0.11405 moveto
  3881. 0.02756 0.11405 lineto
  3882. stroke
  3883. grestore
  3884. gsave
  3885. 0.001 setlinewidth
  3886. 0.02381 0.16372 moveto
  3887. 0.02756 0.16372 lineto
  3888. stroke
  3889. grestore
  3890. gsave
  3891. 0.001 setlinewidth
  3892. 0.02381 0.18855 moveto
  3893. 0.02756 0.18855 lineto
  3894. stroke
  3895. grestore
  3896. gsave
  3897. 0.001 setlinewidth
  3898. 0.02381 0.21338 moveto
  3899. 0.02756 0.21338 lineto
  3900. stroke
  3901. grestore
  3902. gsave
  3903. 0.001 setlinewidth
  3904. 0.02381 0.23822 moveto
  3905. 0.02756 0.23822 lineto
  3906. stroke
  3907. grestore
  3908. gsave
  3909. 0.001 setlinewidth
  3910. 0.02381 0.28788 moveto
  3911. 0.02756 0.28788 lineto
  3912. stroke
  3913. grestore
  3914. gsave
  3915. 0.001 setlinewidth
  3916. 0.02381 0.31272 moveto
  3917. 0.02756 0.31272 lineto
  3918. stroke
  3919. grestore
  3920. gsave
  3921. 0.001 setlinewidth
  3922. 0.02381 0.33755 moveto
  3923. 0.02756 0.33755 lineto
  3924. stroke
  3925. grestore
  3926. gsave
  3927. 0.001 setlinewidth
  3928. 0.02381 0.36238 moveto
  3929. 0.02756 0.36238 lineto
  3930. stroke
  3931. grestore
  3932. gsave
  3933. 0.001 setlinewidth
  3934. 0.02381 0.41205 moveto
  3935. 0.02756 0.41205 lineto
  3936. stroke
  3937. grestore
  3938. gsave
  3939. 0.001 setlinewidth
  3940. 0.02381 0.43688 moveto
  3941. 0.02756 0.43688 lineto
  3942. stroke
  3943. grestore
  3944. gsave
  3945. 0.001 setlinewidth
  3946. 0.02381 0.46172 moveto
  3947. 0.02756 0.46172 lineto
  3948. stroke
  3949. grestore
  3950. gsave
  3951. 0.001 setlinewidth
  3952. 0.02381 0.48655 moveto
  3953. 0.02756 0.48655 lineto
  3954. stroke
  3955. grestore
  3956. gsave
  3957. 0.001 setlinewidth
  3958. 0.02381 0.53622 moveto
  3959. 0.02756 0.53622 lineto
  3960. stroke
  3961. grestore
  3962. gsave
  3963. 0.001 setlinewidth
  3964. 0.02381 0.56105 moveto
  3965. 0.02756 0.56105 lineto
  3966. stroke
  3967. grestore
  3968. gsave
  3969. 0.001 setlinewidth
  3970. 0.02381 0.58588 moveto
  3971. 0.02756 0.58588 lineto
  3972. stroke
  3973. grestore
  3974. gsave
  3975. 0.001 setlinewidth
  3976. 0.02381 0.61072 moveto
  3977. 0.02756 0.61072 lineto
  3978. stroke
  3979. grestore
  3980. gsave
  3981. 0.002 setlinewidth
  3982. 0.02381 0 moveto
  3983. 0.02381 0.61803 lineto
  3984. stroke
  3985. grestore
  3986. grestore
  3987. 0 0 moveto
  3988. 1 0 lineto
  3989. 1 0.61803 lineto
  3990. 0 0.61803 lineto
  3991. closepath
  3992. clip
  3993. newpath
  3994. gsave
  3995. gsave
  3996. gsave
  3997. 0.25 setgray
  3998. 0.02381 0.01472 moveto
  3999. 0.02381 0.32513 lineto
  4000. 0.05556 0.31446 lineto
  4001. 0.0873 0.28854 lineto
  4002. 0.11905 0.25476 lineto
  4003. 0.15079 0.2186 lineto
  4004. 0.18254 0.18392 lineto
  4005. 0.21429 0.15341 lineto
  4006. 0.24603 0.12875 lineto
  4007. 0.27778 0.11089 lineto
  4008. 0.30952 0.10023 lineto
  4009. 0.34127 0.09674 lineto
  4010. 0.34127 0.01472 lineto
  4011. 0.02381 0.01472 lineto
  4012. fill
  4013. grestore
  4014. grestore
  4015. gsave
  4016. gsave
  4017. gsave
  4018. 0.015 setlinewidth
  4019. 0.02381 0.32513 moveto
  4020. 0.02505 0.32511 lineto
  4021. 0.02629 0.32506 lineto
  4022. 0.02753 0.32497 lineto
  4023. 0.02877 0.32484 lineto
  4024. 0.03125 0.32447 lineto
  4025. 0.03373 0.32398 lineto
  4026. 0.03869 0.32259 lineto
  4027. 0.04365 0.32072 lineto
  4028. 0.05357 0.31566 lineto
  4029. 0.06349 0.30908 lineto
  4030. 0.10317 0.27225 lineto
  4031. 0.14286 0.22763 lineto
  4032. 0.18254 0.18392 lineto
  4033. 0.22222 0.14665 lineto
  4034. 0.24206 0.13147 lineto
  4035. 0.2619 0.11893 lineto
  4036. 0.28175 0.10916 lineto
  4037. 0.29167 0.10534 lineto
  4038. 0.30159 0.10222 lineto
  4039. 0.31151 0.09981 lineto
  4040. 0.31647 0.09886 lineto
  4041. 0.32143 0.0981 lineto
  4042. 0.32639 0.0975 lineto
  4043. 0.32887 0.09727 lineto
  4044. 0.33135 0.09708 lineto
  4045. 0.33383 0.09693 lineto
  4046. 0.33507 0.09687 lineto
  4047. 0.33631 0.09682 lineto
  4048. 0.33755 0.09679 lineto
  4049. 0.33879 0.09676 lineto
  4050. 0.34003 0.09675 lineto
  4051. 0.34127 0.09674 lineto
  4052. 0.34251 0.09675 lineto
  4053. 0.34375 0.09676 lineto
  4054. 0.34499 0.09679 lineto
  4055. 0.34623 0.09682 lineto
  4056. 0.34871 0.09693 lineto
  4057. 0.35119 0.09707 lineto
  4058. 0.35367 0.09726 lineto
  4059. 0.35615 0.09748 lineto
  4060. 0.36111 0.09806 lineto
  4061. 0.37103 0.09968 lineto
  4062. 0.38095 0.10193 lineto
  4063. 0.40079 0.10819 lineto
  4064. 0.42063 0.11669 lineto
  4065. 0.46032 0.13965 lineto
  4066. 0.5 0.16929 lineto
  4067. 0.53968 0.20408 lineto
  4068. 0.57937 0.24253 lineto
  4069. Mistroke
  4070. 0.61905 0.28329 lineto
  4071. 0.65873 0.32513 lineto
  4072. 0.69841 0.36699 lineto
  4073. 0.7381 0.40795 lineto
  4074. 0.77778 0.44728 lineto
  4075. 0.81746 0.48439 lineto
  4076. 0.85714 0.51882 lineto
  4077. 0.89683 0.55024 lineto
  4078. 0.93651 0.57845 lineto
  4079. 0.97619 0.60332 lineto
  4080. Mfstroke
  4081. grestore
  4082. grestore
  4083. grestore
  4084. grestore
  4085. % End of Graphics
  4086. MathPictureEnd
  4087. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; ]
  4088. %!
  4089. %%Creator: Mathematica
  4090. %%AspectRatio: 0.61803 
  4091. MathPictureStart
  4092. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  4093. % Scaling calculations
  4094. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  4095. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  4096. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  4097. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  4098. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  4099. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  4100. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  4101. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  4102. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  4103. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  4104. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  4105. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  4106. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  4107. ] MathScale
  4108. % Start of Graphics
  4109. 1 setlinecap
  4110. 1 setlinejoin
  4111. newpath
  4112. %%Object: Graphics
  4113. [ ] 0 setdash
  4114. 0 setgray
  4115. gsave
  4116. gsave
  4117. 0.002 setlinewidth
  4118. 0.18254 0.01472 moveto
  4119. 0.18254 0.02097 lineto
  4120. stroke
  4121. grestore
  4122. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  4123. gsave
  4124. 0.002 setlinewidth
  4125. 0.34127 0.01472 moveto
  4126. 0.34127 0.02097 lineto
  4127. stroke
  4128. grestore
  4129. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  4130. gsave
  4131. 0.002 setlinewidth
  4132. 0.5 0.01472 moveto
  4133. 0.5 0.02097 lineto
  4134. stroke
  4135. grestore
  4136. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  4137. gsave
  4138. 0.002 setlinewidth
  4139. 0.65873 0.01472 moveto
  4140. 0.65873 0.02097 lineto
  4141. stroke
  4142. grestore
  4143. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  4144. gsave
  4145. 0.002 setlinewidth
  4146. 0.81746 0.01472 moveto
  4147. 0.81746 0.02097 lineto
  4148. stroke
  4149. grestore
  4150. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  4151. gsave
  4152. 0.002 setlinewidth
  4153. 0.97619 0.01472 moveto
  4154. 0.97619 0.02097 lineto
  4155. stroke
  4156. grestore
  4157. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  4158. gsave
  4159. 0.001 setlinewidth
  4160. 0.05556 0.01472 moveto
  4161. 0.05556 0.01847 lineto
  4162. stroke
  4163. grestore
  4164. gsave
  4165. 0.001 setlinewidth
  4166. 0.0873 0.01472 moveto
  4167. 0.0873 0.01847 lineto
  4168. stroke
  4169. grestore
  4170. gsave
  4171. 0.001 setlinewidth
  4172. 0.11905 0.01472 moveto
  4173. 0.11905 0.01847 lineto
  4174. stroke
  4175. grestore
  4176. gsave
  4177. 0.001 setlinewidth
  4178. 0.15079 0.01472 moveto
  4179. 0.15079 0.01847 lineto
  4180. stroke
  4181. grestore
  4182. gsave
  4183. 0.001 setlinewidth
  4184. 0.21429 0.01472 moveto
  4185. 0.21429 0.01847 lineto
  4186. stroke
  4187. grestore
  4188. gsave
  4189. 0.001 setlinewidth
  4190. 0.24603 0.01472 moveto
  4191. 0.24603 0.01847 lineto
  4192. stroke
  4193. grestore
  4194. gsave
  4195. 0.001 setlinewidth
  4196. 0.27778 0.01472 moveto
  4197. 0.27778 0.01847 lineto
  4198. stroke
  4199. grestore
  4200. gsave
  4201. 0.001 setlinewidth
  4202. 0.30952 0.01472 moveto
  4203. 0.30952 0.01847 lineto
  4204. stroke
  4205. grestore
  4206. gsave
  4207. 0.001 setlinewidth
  4208. 0.37302 0.01472 moveto
  4209. 0.37302 0.01847 lineto
  4210. stroke
  4211. grestore
  4212. gsave
  4213. 0.001 setlinewidth
  4214. 0.40476 0.01472 moveto
  4215. 0.40476 0.01847 lineto
  4216. stroke
  4217. grestore
  4218. gsave
  4219. 0.001 setlinewidth
  4220. 0.43651 0.01472 moveto
  4221. 0.43651 0.01847 lineto
  4222. stroke
  4223. grestore
  4224. gsave
  4225. 0.001 setlinewidth
  4226. 0.46825 0.01472 moveto
  4227. 0.46825 0.01847 lineto
  4228. stroke
  4229. grestore
  4230. gsave
  4231. 0.001 setlinewidth
  4232. 0.53175 0.01472 moveto
  4233. 0.53175 0.01847 lineto
  4234. stroke
  4235. grestore
  4236. gsave
  4237. 0.001 setlinewidth
  4238. 0.56349 0.01472 moveto
  4239. 0.56349 0.01847 lineto
  4240. stroke
  4241. grestore
  4242. gsave
  4243. 0.001 setlinewidth
  4244. 0.59524 0.01472 moveto
  4245. 0.59524 0.01847 lineto
  4246. stroke
  4247. grestore
  4248. gsave
  4249. 0.001 setlinewidth
  4250. 0.62698 0.01472 moveto
  4251. 0.62698 0.01847 lineto
  4252. stroke
  4253. grestore
  4254. gsave
  4255. 0.001 setlinewidth
  4256. 0.69048 0.01472 moveto
  4257. 0.69048 0.01847 lineto
  4258. stroke
  4259. grestore
  4260. gsave
  4261. 0.001 setlinewidth
  4262. 0.72222 0.01472 moveto
  4263. 0.72222 0.01847 lineto
  4264. stroke
  4265. grestore
  4266. gsave
  4267. 0.001 setlinewidth
  4268. 0.75397 0.01472 moveto
  4269. 0.75397 0.01847 lineto
  4270. stroke
  4271. grestore
  4272. gsave
  4273. 0.001 setlinewidth
  4274. 0.78571 0.01472 moveto
  4275. 0.78571 0.01847 lineto
  4276. stroke
  4277. grestore
  4278. gsave
  4279. 0.001 setlinewidth
  4280. 0.84921 0.01472 moveto
  4281. 0.84921 0.01847 lineto
  4282. stroke
  4283. grestore
  4284. gsave
  4285. 0.001 setlinewidth
  4286. 0.88095 0.01472 moveto
  4287. 0.88095 0.01847 lineto
  4288. stroke
  4289. grestore
  4290. gsave
  4291. 0.001 setlinewidth
  4292. 0.9127 0.01472 moveto
  4293. 0.9127 0.01847 lineto
  4294. stroke
  4295. grestore
  4296. gsave
  4297. 0.001 setlinewidth
  4298. 0.94444 0.01472 moveto
  4299. 0.94444 0.01847 lineto
  4300. stroke
  4301. grestore
  4302. gsave
  4303. 0.002 setlinewidth
  4304. 0 0.01472 moveto
  4305. 1 0.01472 lineto
  4306. stroke
  4307. grestore
  4308. gsave
  4309. 0.002 setlinewidth
  4310. 0.02381 0.13888 moveto
  4311. 0.03006 0.13888 lineto
  4312. stroke
  4313. grestore
  4314. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  4315. gsave
  4316. 0.002 setlinewidth
  4317. 0.02381 0.26305 moveto
  4318. 0.03006 0.26305 lineto
  4319. stroke
  4320. grestore
  4321. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  4322. gsave
  4323. 0.002 setlinewidth
  4324. 0.02381 0.38722 moveto
  4325. 0.03006 0.38722 lineto
  4326. stroke
  4327. grestore
  4328. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  4329. gsave
  4330. 0.002 setlinewidth
  4331. 0.02381 0.51138 moveto
  4332. 0.03006 0.51138 lineto
  4333. stroke
  4334. grestore
  4335. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  4336. gsave
  4337. 0.001 setlinewidth
  4338. 0.02381 0.03955 moveto
  4339. 0.02756 0.03955 lineto
  4340. stroke
  4341. grestore
  4342. gsave
  4343. 0.001 setlinewidth
  4344. 0.02381 0.06438 moveto
  4345. 0.02756 0.06438 lineto
  4346. stroke
  4347. grestore
  4348. gsave
  4349. 0.001 setlinewidth
  4350. 0.02381 0.08922 moveto
  4351. 0.02756 0.08922 lineto
  4352. stroke
  4353. grestore
  4354. gsave
  4355. 0.001 setlinewidth
  4356. 0.02381 0.11405 moveto
  4357. 0.02756 0.11405 lineto
  4358. stroke
  4359. grestore
  4360. gsave
  4361. 0.001 setlinewidth
  4362. 0.02381 0.16372 moveto
  4363. 0.02756 0.16372 lineto
  4364. stroke
  4365. grestore
  4366. gsave
  4367. 0.001 setlinewidth
  4368. 0.02381 0.18855 moveto
  4369. 0.02756 0.18855 lineto
  4370. stroke
  4371. grestore
  4372. gsave
  4373. 0.001 setlinewidth
  4374. 0.02381 0.21338 moveto
  4375. 0.02756 0.21338 lineto
  4376. stroke
  4377. grestore
  4378. gsave
  4379. 0.001 setlinewidth
  4380. 0.02381 0.23822 moveto
  4381. 0.02756 0.23822 lineto
  4382. stroke
  4383. grestore
  4384. gsave
  4385. 0.001 setlinewidth
  4386. 0.02381 0.28788 moveto
  4387. 0.02756 0.28788 lineto
  4388. stroke
  4389. grestore
  4390. gsave
  4391. 0.001 setlinewidth
  4392. 0.02381 0.31272 moveto
  4393. 0.02756 0.31272 lineto
  4394. stroke
  4395. grestore
  4396. gsave
  4397. 0.001 setlinewidth
  4398. 0.02381 0.33755 moveto
  4399. 0.02756 0.33755 lineto
  4400. stroke
  4401. grestore
  4402. gsave
  4403. 0.001 setlinewidth
  4404. 0.02381 0.36238 moveto
  4405. 0.02756 0.36238 lineto
  4406. stroke
  4407. grestore
  4408. gsave
  4409. 0.001 setlinewidth
  4410. 0.02381 0.41205 moveto
  4411. 0.02756 0.41205 lineto
  4412. stroke
  4413. grestore
  4414. gsave
  4415. 0.001 setlinewidth
  4416. 0.02381 0.43688 moveto
  4417. 0.02756 0.43688 lineto
  4418. stroke
  4419. grestore
  4420. gsave
  4421. 0.001 setlinewidth
  4422. 0.02381 0.46172 moveto
  4423. 0.02756 0.46172 lineto
  4424. stroke
  4425. grestore
  4426. gsave
  4427. 0.001 setlinewidth
  4428. 0.02381 0.48655 moveto
  4429. 0.02756 0.48655 lineto
  4430. stroke
  4431. grestore
  4432. gsave
  4433. 0.001 setlinewidth
  4434. 0.02381 0.53622 moveto
  4435. 0.02756 0.53622 lineto
  4436. stroke
  4437. grestore
  4438. gsave
  4439. 0.001 setlinewidth
  4440. 0.02381 0.56105 moveto
  4441. 0.02756 0.56105 lineto
  4442. stroke
  4443. grestore
  4444. gsave
  4445. 0.001 setlinewidth
  4446. 0.02381 0.58588 moveto
  4447. 0.02756 0.58588 lineto
  4448. stroke
  4449. grestore
  4450. gsave
  4451. 0.001 setlinewidth
  4452. 0.02381 0.61072 moveto
  4453. 0.02756 0.61072 lineto
  4454. stroke
  4455. grestore
  4456. gsave
  4457. 0.002 setlinewidth
  4458. 0.02381 0 moveto
  4459. 0.02381 0.61803 lineto
  4460. stroke
  4461. grestore
  4462. grestore
  4463. 0 0 moveto
  4464. 1 0 lineto
  4465. 1 0.61803 lineto
  4466. 0 0.61803 lineto
  4467. closepath
  4468. clip
  4469. newpath
  4470. gsave
  4471. gsave
  4472. gsave
  4473. 0.25 setgray
  4474. 0.02381 0.01472 moveto
  4475. 0.02381 0.32513 lineto
  4476. 0.05556 0.31446 lineto
  4477. 0.0873 0.28854 lineto
  4478. 0.11905 0.25476 lineto
  4479. 0.15079 0.2186 lineto
  4480. 0.18254 0.18392 lineto
  4481. 0.21429 0.15341 lineto
  4482. 0.24603 0.12875 lineto
  4483. 0.27778 0.11089 lineto
  4484. 0.30952 0.10023 lineto
  4485. 0.34127 0.09674 lineto
  4486. 0.37302 0.10008 lineto
  4487. 0.40476 0.10972 lineto
  4488. 0.40476 0.01472 lineto
  4489. 0.02381 0.01472 lineto
  4490. fill
  4491. grestore
  4492. grestore
  4493. gsave
  4494. gsave
  4495. gsave
  4496. 0.015 setlinewidth
  4497. 0.02381 0.32513 moveto
  4498. 0.02505 0.32511 lineto
  4499. 0.02629 0.32506 lineto
  4500. 0.02753 0.32497 lineto
  4501. 0.02877 0.32484 lineto
  4502. 0.03125 0.32447 lineto
  4503. 0.03373 0.32398 lineto
  4504. 0.03869 0.32259 lineto
  4505. 0.04365 0.32072 lineto
  4506. 0.05357 0.31566 lineto
  4507. 0.06349 0.30908 lineto
  4508. 0.10317 0.27225 lineto
  4509. 0.14286 0.22763 lineto
  4510. 0.18254 0.18392 lineto
  4511. 0.22222 0.14665 lineto
  4512. 0.24206 0.13147 lineto
  4513. 0.2619 0.11893 lineto
  4514. 0.28175 0.10916 lineto
  4515. 0.29167 0.10534 lineto
  4516. 0.30159 0.10222 lineto
  4517. 0.31151 0.09981 lineto
  4518. 0.31647 0.09886 lineto
  4519. 0.32143 0.0981 lineto
  4520. 0.32639 0.0975 lineto
  4521. 0.32887 0.09727 lineto
  4522. 0.33135 0.09708 lineto
  4523. 0.33383 0.09693 lineto
  4524. 0.33507 0.09687 lineto
  4525. 0.33631 0.09682 lineto
  4526. 0.33755 0.09679 lineto
  4527. 0.33879 0.09676 lineto
  4528. 0.34003 0.09675 lineto
  4529. 0.34127 0.09674 lineto
  4530. 0.34251 0.09675 lineto
  4531. 0.34375 0.09676 lineto
  4532. 0.34499 0.09679 lineto
  4533. 0.34623 0.09682 lineto
  4534. 0.34871 0.09693 lineto
  4535. 0.35119 0.09707 lineto
  4536. 0.35367 0.09726 lineto
  4537. 0.35615 0.09748 lineto
  4538. 0.36111 0.09806 lineto
  4539. 0.37103 0.09968 lineto
  4540. 0.38095 0.10193 lineto
  4541. 0.40079 0.10819 lineto
  4542. 0.42063 0.11669 lineto
  4543. 0.46032 0.13965 lineto
  4544. 0.5 0.16929 lineto
  4545. 0.53968 0.20408 lineto
  4546. 0.57937 0.24253 lineto
  4547. Mistroke
  4548. 0.61905 0.28329 lineto
  4549. 0.65873 0.32513 lineto
  4550. 0.69841 0.36699 lineto
  4551. 0.7381 0.40795 lineto
  4552. 0.77778 0.44728 lineto
  4553. 0.81746 0.48439 lineto
  4554. 0.85714 0.51882 lineto
  4555. 0.89683 0.55024 lineto
  4556. 0.93651 0.57845 lineto
  4557. 0.97619 0.60332 lineto
  4558. Mfstroke
  4559. grestore
  4560. grestore
  4561. grestore
  4562. grestore
  4563. % End of Graphics
  4564. MathPictureEnd
  4565. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; ]
  4566. %!
  4567. %%Creator: Mathematica
  4568. %%AspectRatio: 0.61803 
  4569. MathPictureStart
  4570. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  4571. % Scaling calculations
  4572. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  4573. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  4574. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  4575. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  4576. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  4577. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  4578. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  4579. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  4580. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  4581. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  4582. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  4583. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  4584. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  4585. ] MathScale
  4586. % Start of Graphics
  4587. 1 setlinecap
  4588. 1 setlinejoin
  4589. newpath
  4590. %%Object: Graphics
  4591. [ ] 0 setdash
  4592. 0 setgray
  4593. gsave
  4594. gsave
  4595. 0.002 setlinewidth
  4596. 0.18254 0.01472 moveto
  4597. 0.18254 0.02097 lineto
  4598. stroke
  4599. grestore
  4600. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  4601. gsave
  4602. 0.002 setlinewidth
  4603. 0.34127 0.01472 moveto
  4604. 0.34127 0.02097 lineto
  4605. stroke
  4606. grestore
  4607. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  4608. gsave
  4609. 0.002 setlinewidth
  4610. 0.5 0.01472 moveto
  4611. 0.5 0.02097 lineto
  4612. stroke
  4613. grestore
  4614. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  4615. gsave
  4616. 0.002 setlinewidth
  4617. 0.65873 0.01472 moveto
  4618. 0.65873 0.02097 lineto
  4619. stroke
  4620. grestore
  4621. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  4622. gsave
  4623. 0.002 setlinewidth
  4624. 0.81746 0.01472 moveto
  4625. 0.81746 0.02097 lineto
  4626. stroke
  4627. grestore
  4628. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  4629. gsave
  4630. 0.002 setlinewidth
  4631. 0.97619 0.01472 moveto
  4632. 0.97619 0.02097 lineto
  4633. stroke
  4634. grestore
  4635. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  4636. gsave
  4637. 0.001 setlinewidth
  4638. 0.05556 0.01472 moveto
  4639. 0.05556 0.01847 lineto
  4640. stroke
  4641. grestore
  4642. gsave
  4643. 0.001 setlinewidth
  4644. 0.0873 0.01472 moveto
  4645. 0.0873 0.01847 lineto
  4646. stroke
  4647. grestore
  4648. gsave
  4649. 0.001 setlinewidth
  4650. 0.11905 0.01472 moveto
  4651. 0.11905 0.01847 lineto
  4652. stroke
  4653. grestore
  4654. gsave
  4655. 0.001 setlinewidth
  4656. 0.15079 0.01472 moveto
  4657. 0.15079 0.01847 lineto
  4658. stroke
  4659. grestore
  4660. gsave
  4661. 0.001 setlinewidth
  4662. 0.21429 0.01472 moveto
  4663. 0.21429 0.01847 lineto
  4664. stroke
  4665. grestore
  4666. gsave
  4667. 0.001 setlinewidth
  4668. 0.24603 0.01472 moveto
  4669. 0.24603 0.01847 lineto
  4670. stroke
  4671. grestore
  4672. gsave
  4673. 0.001 setlinewidth
  4674. 0.27778 0.01472 moveto
  4675. 0.27778 0.01847 lineto
  4676. stroke
  4677. grestore
  4678. gsave
  4679. 0.001 setlinewidth
  4680. 0.30952 0.01472 moveto
  4681. 0.30952 0.01847 lineto
  4682. stroke
  4683. grestore
  4684. gsave
  4685. 0.001 setlinewidth
  4686. 0.37302 0.01472 moveto
  4687. 0.37302 0.01847 lineto
  4688. stroke
  4689. grestore
  4690. gsave
  4691. 0.001 setlinewidth
  4692. 0.40476 0.01472 moveto
  4693. 0.40476 0.01847 lineto
  4694. stroke
  4695. grestore
  4696. gsave
  4697. 0.001 setlinewidth
  4698. 0.43651 0.01472 moveto
  4699. 0.43651 0.01847 lineto
  4700. stroke
  4701. grestore
  4702. gsave
  4703. 0.001 setlinewidth
  4704. 0.46825 0.01472 moveto
  4705. 0.46825 0.01847 lineto
  4706. stroke
  4707. grestore
  4708. gsave
  4709. 0.001 setlinewidth
  4710. 0.53175 0.01472 moveto
  4711. 0.53175 0.01847 lineto
  4712. stroke
  4713. grestore
  4714. gsave
  4715. 0.001 setlinewidth
  4716. 0.56349 0.01472 moveto
  4717. 0.56349 0.01847 lineto
  4718. stroke
  4719. grestore
  4720. gsave
  4721. 0.001 setlinewidth
  4722. 0.59524 0.01472 moveto
  4723. 0.59524 0.01847 lineto
  4724. stroke
  4725. grestore
  4726. gsave
  4727. 0.001 setlinewidth
  4728. 0.62698 0.01472 moveto
  4729. 0.62698 0.01847 lineto
  4730. stroke
  4731. grestore
  4732. gsave
  4733. 0.001 setlinewidth
  4734. 0.69048 0.01472 moveto
  4735. 0.69048 0.01847 lineto
  4736. stroke
  4737. grestore
  4738. gsave
  4739. 0.001 setlinewidth
  4740. 0.72222 0.01472 moveto
  4741. 0.72222 0.01847 lineto
  4742. stroke
  4743. grestore
  4744. gsave
  4745. 0.001 setlinewidth
  4746. 0.75397 0.01472 moveto
  4747. 0.75397 0.01847 lineto
  4748. stroke
  4749. grestore
  4750. gsave
  4751. 0.001 setlinewidth
  4752. 0.78571 0.01472 moveto
  4753. 0.78571 0.01847 lineto
  4754. stroke
  4755. grestore
  4756. gsave
  4757. 0.001 setlinewidth
  4758. 0.84921 0.01472 moveto
  4759. 0.84921 0.01847 lineto
  4760. stroke
  4761. grestore
  4762. gsave
  4763. 0.001 setlinewidth
  4764. 0.88095 0.01472 moveto
  4765. 0.88095 0.01847 lineto
  4766. stroke
  4767. grestore
  4768. gsave
  4769. 0.001 setlinewidth
  4770. 0.9127 0.01472 moveto
  4771. 0.9127 0.01847 lineto
  4772. stroke
  4773. grestore
  4774. gsave
  4775. 0.001 setlinewidth
  4776. 0.94444 0.01472 moveto
  4777. 0.94444 0.01847 lineto
  4778. stroke
  4779. grestore
  4780. gsave
  4781. 0.002 setlinewidth
  4782. 0 0.01472 moveto
  4783. 1 0.01472 lineto
  4784. stroke
  4785. grestore
  4786. gsave
  4787. 0.002 setlinewidth
  4788. 0.02381 0.13888 moveto
  4789. 0.03006 0.13888 lineto
  4790. stroke
  4791. grestore
  4792. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  4793. gsave
  4794. 0.002 setlinewidth
  4795. 0.02381 0.26305 moveto
  4796. 0.03006 0.26305 lineto
  4797. stroke
  4798. grestore
  4799. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  4800. gsave
  4801. 0.002 setlinewidth
  4802. 0.02381 0.38722 moveto
  4803. 0.03006 0.38722 lineto
  4804. stroke
  4805. grestore
  4806. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  4807. gsave
  4808. 0.002 setlinewidth
  4809. 0.02381 0.51138 moveto
  4810. 0.03006 0.51138 lineto
  4811. stroke
  4812. grestore
  4813. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  4814. gsave
  4815. 0.001 setlinewidth
  4816. 0.02381 0.03955 moveto
  4817. 0.02756 0.03955 lineto
  4818. stroke
  4819. grestore
  4820. gsave
  4821. 0.001 setlinewidth
  4822. 0.02381 0.06438 moveto
  4823. 0.02756 0.06438 lineto
  4824. stroke
  4825. grestore
  4826. gsave
  4827. 0.001 setlinewidth
  4828. 0.02381 0.08922 moveto
  4829. 0.02756 0.08922 lineto
  4830. stroke
  4831. grestore
  4832. gsave
  4833. 0.001 setlinewidth
  4834. 0.02381 0.11405 moveto
  4835. 0.02756 0.11405 lineto
  4836. stroke
  4837. grestore
  4838. gsave
  4839. 0.001 setlinewidth
  4840. 0.02381 0.16372 moveto
  4841. 0.02756 0.16372 lineto
  4842. stroke
  4843. grestore
  4844. gsave
  4845. 0.001 setlinewidth
  4846. 0.02381 0.18855 moveto
  4847. 0.02756 0.18855 lineto
  4848. stroke
  4849. grestore
  4850. gsave
  4851. 0.001 setlinewidth
  4852. 0.02381 0.21338 moveto
  4853. 0.02756 0.21338 lineto
  4854. stroke
  4855. grestore
  4856. gsave
  4857. 0.001 setlinewidth
  4858. 0.02381 0.23822 moveto
  4859. 0.02756 0.23822 lineto
  4860. stroke
  4861. grestore
  4862. gsave
  4863. 0.001 setlinewidth
  4864. 0.02381 0.28788 moveto
  4865. 0.02756 0.28788 lineto
  4866. stroke
  4867. grestore
  4868. gsave
  4869. 0.001 setlinewidth
  4870. 0.02381 0.31272 moveto
  4871. 0.02756 0.31272 lineto
  4872. stroke
  4873. grestore
  4874. gsave
  4875. 0.001 setlinewidth
  4876. 0.02381 0.33755 moveto
  4877. 0.02756 0.33755 lineto
  4878. stroke
  4879. grestore
  4880. gsave
  4881. 0.001 setlinewidth
  4882. 0.02381 0.36238 moveto
  4883. 0.02756 0.36238 lineto
  4884. stroke
  4885. grestore
  4886. gsave
  4887. 0.001 setlinewidth
  4888. 0.02381 0.41205 moveto
  4889. 0.02756 0.41205 lineto
  4890. stroke
  4891. grestore
  4892. gsave
  4893. 0.001 setlinewidth
  4894. 0.02381 0.43688 moveto
  4895. 0.02756 0.43688 lineto
  4896. stroke
  4897. grestore
  4898. gsave
  4899. 0.001 setlinewidth
  4900. 0.02381 0.46172 moveto
  4901. 0.02756 0.46172 lineto
  4902. stroke
  4903. grestore
  4904. gsave
  4905. 0.001 setlinewidth
  4906. 0.02381 0.48655 moveto
  4907. 0.02756 0.48655 lineto
  4908. stroke
  4909. grestore
  4910. gsave
  4911. 0.001 setlinewidth
  4912. 0.02381 0.53622 moveto
  4913. 0.02756 0.53622 lineto
  4914. stroke
  4915. grestore
  4916. gsave
  4917. 0.001 setlinewidth
  4918. 0.02381 0.56105 moveto
  4919. 0.02756 0.56105 lineto
  4920. stroke
  4921. grestore
  4922. gsave
  4923. 0.001 setlinewidth
  4924. 0.02381 0.58588 moveto
  4925. 0.02756 0.58588 lineto
  4926. stroke
  4927. grestore
  4928. gsave
  4929. 0.001 setlinewidth
  4930. 0.02381 0.61072 moveto
  4931. 0.02756 0.61072 lineto
  4932. stroke
  4933. grestore
  4934. gsave
  4935. 0.002 setlinewidth
  4936. 0.02381 0 moveto
  4937. 0.02381 0.61803 lineto
  4938. stroke
  4939. grestore
  4940. grestore
  4941. 0 0 moveto
  4942. 1 0 lineto
  4943. 1 0.61803 lineto
  4944. 0 0.61803 lineto
  4945. closepath
  4946. clip
  4947. newpath
  4948. gsave
  4949. gsave
  4950. gsave
  4951. 0.25 setgray
  4952. 0.02381 0.01472 moveto
  4953. 0.02381 0.32513 lineto
  4954. 0.05556 0.31446 lineto
  4955. 0.0873 0.28854 lineto
  4956. 0.11905 0.25476 lineto
  4957. 0.15079 0.2186 lineto
  4958. 0.18254 0.18392 lineto
  4959. 0.21429 0.15341 lineto
  4960. 0.24603 0.12875 lineto
  4961. 0.27778 0.11089 lineto
  4962. 0.30952 0.10023 lineto
  4963. 0.34127 0.09674 lineto
  4964. 0.37302 0.10008 lineto
  4965. 0.40476 0.10972 lineto
  4966. 0.43651 0.12497 lineto
  4967. 0.46825 0.14509 lineto
  4968. 0.46825 0.01472 lineto
  4969. 0.02381 0.01472 lineto
  4970. fill
  4971. grestore
  4972. grestore
  4973. gsave
  4974. gsave
  4975. gsave
  4976. 0.015 setlinewidth
  4977. 0.02381 0.32513 moveto
  4978. 0.02505 0.32511 lineto
  4979. 0.02629 0.32506 lineto
  4980. 0.02753 0.32497 lineto
  4981. 0.02877 0.32484 lineto
  4982. 0.03125 0.32447 lineto
  4983. 0.03373 0.32398 lineto
  4984. 0.03869 0.32259 lineto
  4985. 0.04365 0.32072 lineto
  4986. 0.05357 0.31566 lineto
  4987. 0.06349 0.30908 lineto
  4988. 0.10317 0.27225 lineto
  4989. 0.14286 0.22763 lineto
  4990. 0.18254 0.18392 lineto
  4991. 0.22222 0.14665 lineto
  4992. 0.24206 0.13147 lineto
  4993. 0.2619 0.11893 lineto
  4994. 0.28175 0.10916 lineto
  4995. 0.29167 0.10534 lineto
  4996. 0.30159 0.10222 lineto
  4997. 0.31151 0.09981 lineto
  4998. 0.31647 0.09886 lineto
  4999. 0.32143 0.0981 lineto
  5000. 0.32639 0.0975 lineto
  5001. 0.32887 0.09727 lineto
  5002. 0.33135 0.09708 lineto
  5003. 0.33383 0.09693 lineto
  5004. 0.33507 0.09687 lineto
  5005. 0.33631 0.09682 lineto
  5006. 0.33755 0.09679 lineto
  5007. 0.33879 0.09676 lineto
  5008. 0.34003 0.09675 lineto
  5009. 0.34127 0.09674 lineto
  5010. 0.34251 0.09675 lineto
  5011. 0.34375 0.09676 lineto
  5012. 0.34499 0.09679 lineto
  5013. 0.34623 0.09682 lineto
  5014. 0.34871 0.09693 lineto
  5015. 0.35119 0.09707 lineto
  5016. 0.35367 0.09726 lineto
  5017. 0.35615 0.09748 lineto
  5018. 0.36111 0.09806 lineto
  5019. 0.37103 0.09968 lineto
  5020. 0.38095 0.10193 lineto
  5021. 0.40079 0.10819 lineto
  5022. 0.42063 0.11669 lineto
  5023. 0.46032 0.13965 lineto
  5024. 0.5 0.16929 lineto
  5025. 0.53968 0.20408 lineto
  5026. 0.57937 0.24253 lineto
  5027. Mistroke
  5028. 0.61905 0.28329 lineto
  5029. 0.65873 0.32513 lineto
  5030. 0.69841 0.36699 lineto
  5031. 0.7381 0.40795 lineto
  5032. 0.77778 0.44728 lineto
  5033. 0.81746 0.48439 lineto
  5034. 0.85714 0.51882 lineto
  5035. 0.89683 0.55024 lineto
  5036. 0.93651 0.57845 lineto
  5037. 0.97619 0.60332 lineto
  5038. Mfstroke
  5039. grestore
  5040. grestore
  5041. grestore
  5042. grestore
  5043. % End of Graphics
  5044. MathPictureEnd
  5045. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; ]
  5046. %!
  5047. %%Creator: Mathematica
  5048. %%AspectRatio: 0.61803 
  5049. MathPictureStart
  5050. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  5051. % Scaling calculations
  5052. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  5053. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  5054. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  5055. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  5056. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  5057. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  5058. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  5059. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  5060. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  5061. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  5062. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  5063. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  5064. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  5065. ] MathScale
  5066. % Start of Graphics
  5067. 1 setlinecap
  5068. 1 setlinejoin
  5069. newpath
  5070. %%Object: Graphics
  5071. [ ] 0 setdash
  5072. 0 setgray
  5073. gsave
  5074. gsave
  5075. 0.002 setlinewidth
  5076. 0.18254 0.01472 moveto
  5077. 0.18254 0.02097 lineto
  5078. stroke
  5079. grestore
  5080. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  5081. gsave
  5082. 0.002 setlinewidth
  5083. 0.34127 0.01472 moveto
  5084. 0.34127 0.02097 lineto
  5085. stroke
  5086. grestore
  5087. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  5088. gsave
  5089. 0.002 setlinewidth
  5090. 0.5 0.01472 moveto
  5091. 0.5 0.02097 lineto
  5092. stroke
  5093. grestore
  5094. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  5095. gsave
  5096. 0.002 setlinewidth
  5097. 0.65873 0.01472 moveto
  5098. 0.65873 0.02097 lineto
  5099. stroke
  5100. grestore
  5101. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  5102. gsave
  5103. 0.002 setlinewidth
  5104. 0.81746 0.01472 moveto
  5105. 0.81746 0.02097 lineto
  5106. stroke
  5107. grestore
  5108. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  5109. gsave
  5110. 0.002 setlinewidth
  5111. 0.97619 0.01472 moveto
  5112. 0.97619 0.02097 lineto
  5113. stroke
  5114. grestore
  5115. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  5116. gsave
  5117. 0.001 setlinewidth
  5118. 0.05556 0.01472 moveto
  5119. 0.05556 0.01847 lineto
  5120. stroke
  5121. grestore
  5122. gsave
  5123. 0.001 setlinewidth
  5124. 0.0873 0.01472 moveto
  5125. 0.0873 0.01847 lineto
  5126. stroke
  5127. grestore
  5128. gsave
  5129. 0.001 setlinewidth
  5130. 0.11905 0.01472 moveto
  5131. 0.11905 0.01847 lineto
  5132. stroke
  5133. grestore
  5134. gsave
  5135. 0.001 setlinewidth
  5136. 0.15079 0.01472 moveto
  5137. 0.15079 0.01847 lineto
  5138. stroke
  5139. grestore
  5140. gsave
  5141. 0.001 setlinewidth
  5142. 0.21429 0.01472 moveto
  5143. 0.21429 0.01847 lineto
  5144. stroke
  5145. grestore
  5146. gsave
  5147. 0.001 setlinewidth
  5148. 0.24603 0.01472 moveto
  5149. 0.24603 0.01847 lineto
  5150. stroke
  5151. grestore
  5152. gsave
  5153. 0.001 setlinewidth
  5154. 0.27778 0.01472 moveto
  5155. 0.27778 0.01847 lineto
  5156. stroke
  5157. grestore
  5158. gsave
  5159. 0.001 setlinewidth
  5160. 0.30952 0.01472 moveto
  5161. 0.30952 0.01847 lineto
  5162. stroke
  5163. grestore
  5164. gsave
  5165. 0.001 setlinewidth
  5166. 0.37302 0.01472 moveto
  5167. 0.37302 0.01847 lineto
  5168. stroke
  5169. grestore
  5170. gsave
  5171. 0.001 setlinewidth
  5172. 0.40476 0.01472 moveto
  5173. 0.40476 0.01847 lineto
  5174. stroke
  5175. grestore
  5176. gsave
  5177. 0.001 setlinewidth
  5178. 0.43651 0.01472 moveto
  5179. 0.43651 0.01847 lineto
  5180. stroke
  5181. grestore
  5182. gsave
  5183. 0.001 setlinewidth
  5184. 0.46825 0.01472 moveto
  5185. 0.46825 0.01847 lineto
  5186. stroke
  5187. grestore
  5188. gsave
  5189. 0.001 setlinewidth
  5190. 0.53175 0.01472 moveto
  5191. 0.53175 0.01847 lineto
  5192. stroke
  5193. grestore
  5194. gsave
  5195. 0.001 setlinewidth
  5196. 0.56349 0.01472 moveto
  5197. 0.56349 0.01847 lineto
  5198. stroke
  5199. grestore
  5200. gsave
  5201. 0.001 setlinewidth
  5202. 0.59524 0.01472 moveto
  5203. 0.59524 0.01847 lineto
  5204. stroke
  5205. grestore
  5206. gsave
  5207. 0.001 setlinewidth
  5208. 0.62698 0.01472 moveto
  5209. 0.62698 0.01847 lineto
  5210. stroke
  5211. grestore
  5212. gsave
  5213. 0.001 setlinewidth
  5214. 0.69048 0.01472 moveto
  5215. 0.69048 0.01847 lineto
  5216. stroke
  5217. grestore
  5218. gsave
  5219. 0.001 setlinewidth
  5220. 0.72222 0.01472 moveto
  5221. 0.72222 0.01847 lineto
  5222. stroke
  5223. grestore
  5224. gsave
  5225. 0.001 setlinewidth
  5226. 0.75397 0.01472 moveto
  5227. 0.75397 0.01847 lineto
  5228. stroke
  5229. grestore
  5230. gsave
  5231. 0.001 setlinewidth
  5232. 0.78571 0.01472 moveto
  5233. 0.78571 0.01847 lineto
  5234. stroke
  5235. grestore
  5236. gsave
  5237. 0.001 setlinewidth
  5238. 0.84921 0.01472 moveto
  5239. 0.84921 0.01847 lineto
  5240. stroke
  5241. grestore
  5242. gsave
  5243. 0.001 setlinewidth
  5244. 0.88095 0.01472 moveto
  5245. 0.88095 0.01847 lineto
  5246. stroke
  5247. grestore
  5248. gsave
  5249. 0.001 setlinewidth
  5250. 0.9127 0.01472 moveto
  5251. 0.9127 0.01847 lineto
  5252. stroke
  5253. grestore
  5254. gsave
  5255. 0.001 setlinewidth
  5256. 0.94444 0.01472 moveto
  5257. 0.94444 0.01847 lineto
  5258. stroke
  5259. grestore
  5260. gsave
  5261. 0.002 setlinewidth
  5262. 0 0.01472 moveto
  5263. 1 0.01472 lineto
  5264. stroke
  5265. grestore
  5266. gsave
  5267. 0.002 setlinewidth
  5268. 0.02381 0.13888 moveto
  5269. 0.03006 0.13888 lineto
  5270. stroke
  5271. grestore
  5272. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  5273. gsave
  5274. 0.002 setlinewidth
  5275. 0.02381 0.26305 moveto
  5276. 0.03006 0.26305 lineto
  5277. stroke
  5278. grestore
  5279. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  5280. gsave
  5281. 0.002 setlinewidth
  5282. 0.02381 0.38722 moveto
  5283. 0.03006 0.38722 lineto
  5284. stroke
  5285. grestore
  5286. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  5287. gsave
  5288. 0.002 setlinewidth
  5289. 0.02381 0.51138 moveto
  5290. 0.03006 0.51138 lineto
  5291. stroke
  5292. grestore
  5293. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  5294. gsave
  5295. 0.001 setlinewidth
  5296. 0.02381 0.03955 moveto
  5297. 0.02756 0.03955 lineto
  5298. stroke
  5299. grestore
  5300. gsave
  5301. 0.001 setlinewidth
  5302. 0.02381 0.06438 moveto
  5303. 0.02756 0.06438 lineto
  5304. stroke
  5305. grestore
  5306. gsave
  5307. 0.001 setlinewidth
  5308. 0.02381 0.08922 moveto
  5309. 0.02756 0.08922 lineto
  5310. stroke
  5311. grestore
  5312. gsave
  5313. 0.001 setlinewidth
  5314. 0.02381 0.11405 moveto
  5315. 0.02756 0.11405 lineto
  5316. stroke
  5317. grestore
  5318. gsave
  5319. 0.001 setlinewidth
  5320. 0.02381 0.16372 moveto
  5321. 0.02756 0.16372 lineto
  5322. stroke
  5323. grestore
  5324. gsave
  5325. 0.001 setlinewidth
  5326. 0.02381 0.18855 moveto
  5327. 0.02756 0.18855 lineto
  5328. stroke
  5329. grestore
  5330. gsave
  5331. 0.001 setlinewidth
  5332. 0.02381 0.21338 moveto
  5333. 0.02756 0.21338 lineto
  5334. stroke
  5335. grestore
  5336. gsave
  5337. 0.001 setlinewidth
  5338. 0.02381 0.23822 moveto
  5339. 0.02756 0.23822 lineto
  5340. stroke
  5341. grestore
  5342. gsave
  5343. 0.001 setlinewidth
  5344. 0.02381 0.28788 moveto
  5345. 0.02756 0.28788 lineto
  5346. stroke
  5347. grestore
  5348. gsave
  5349. 0.001 setlinewidth
  5350. 0.02381 0.31272 moveto
  5351. 0.02756 0.31272 lineto
  5352. stroke
  5353. grestore
  5354. gsave
  5355. 0.001 setlinewidth
  5356. 0.02381 0.33755 moveto
  5357. 0.02756 0.33755 lineto
  5358. stroke
  5359. grestore
  5360. gsave
  5361. 0.001 setlinewidth
  5362. 0.02381 0.36238 moveto
  5363. 0.02756 0.36238 lineto
  5364. stroke
  5365. grestore
  5366. gsave
  5367. 0.001 setlinewidth
  5368. 0.02381 0.41205 moveto
  5369. 0.02756 0.41205 lineto
  5370. stroke
  5371. grestore
  5372. gsave
  5373. 0.001 setlinewidth
  5374. 0.02381 0.43688 moveto
  5375. 0.02756 0.43688 lineto
  5376. stroke
  5377. grestore
  5378. gsave
  5379. 0.001 setlinewidth
  5380. 0.02381 0.46172 moveto
  5381. 0.02756 0.46172 lineto
  5382. stroke
  5383. grestore
  5384. gsave
  5385. 0.001 setlinewidth
  5386. 0.02381 0.48655 moveto
  5387. 0.02756 0.48655 lineto
  5388. stroke
  5389. grestore
  5390. gsave
  5391. 0.001 setlinewidth
  5392. 0.02381 0.53622 moveto
  5393. 0.02756 0.53622 lineto
  5394. stroke
  5395. grestore
  5396. gsave
  5397. 0.001 setlinewidth
  5398. 0.02381 0.56105 moveto
  5399. 0.02756 0.56105 lineto
  5400. stroke
  5401. grestore
  5402. gsave
  5403. 0.001 setlinewidth
  5404. 0.02381 0.58588 moveto
  5405. 0.02756 0.58588 lineto
  5406. stroke
  5407. grestore
  5408. gsave
  5409. 0.001 setlinewidth
  5410. 0.02381 0.61072 moveto
  5411. 0.02756 0.61072 lineto
  5412. stroke
  5413. grestore
  5414. gsave
  5415. 0.002 setlinewidth
  5416. 0.02381 0 moveto
  5417. 0.02381 0.61803 lineto
  5418. stroke
  5419. grestore
  5420. grestore
  5421. 0 0 moveto
  5422. 1 0 lineto
  5423. 1 0.61803 lineto
  5424. 0 0.61803 lineto
  5425. closepath
  5426. clip
  5427. newpath
  5428. gsave
  5429. gsave
  5430. gsave
  5431. 0.25 setgray
  5432. 0.02381 0.01472 moveto
  5433. 0.02381 0.32513 lineto
  5434. 0.05556 0.31446 lineto
  5435. 0.0873 0.28854 lineto
  5436. 0.11905 0.25476 lineto
  5437. 0.15079 0.2186 lineto
  5438. 0.18254 0.18392 lineto
  5439. 0.21429 0.15341 lineto
  5440. 0.24603 0.12875 lineto
  5441. 0.27778 0.11089 lineto
  5442. 0.30952 0.10023 lineto
  5443. 0.34127 0.09674 lineto
  5444. 0.37302 0.10008 lineto
  5445. 0.40476 0.10972 lineto
  5446. 0.43651 0.12497 lineto
  5447. 0.46825 0.14509 lineto
  5448. 0.5 0.16929 lineto
  5449. 0.53175 0.19678 lineto
  5450. 0.53175 0.01472 lineto
  5451. 0.02381 0.01472 lineto
  5452. fill
  5453. grestore
  5454. grestore
  5455. gsave
  5456. gsave
  5457. gsave
  5458. 0.015 setlinewidth
  5459. 0.02381 0.32513 moveto
  5460. 0.02505 0.32511 lineto
  5461. 0.02629 0.32506 lineto
  5462. 0.02753 0.32497 lineto
  5463. 0.02877 0.32484 lineto
  5464. 0.03125 0.32447 lineto
  5465. 0.03373 0.32398 lineto
  5466. 0.03869 0.32259 lineto
  5467. 0.04365 0.32072 lineto
  5468. 0.05357 0.31566 lineto
  5469. 0.06349 0.30908 lineto
  5470. 0.10317 0.27225 lineto
  5471. 0.14286 0.22763 lineto
  5472. 0.18254 0.18392 lineto
  5473. 0.22222 0.14665 lineto
  5474. 0.24206 0.13147 lineto
  5475. 0.2619 0.11893 lineto
  5476. 0.28175 0.10916 lineto
  5477. 0.29167 0.10534 lineto
  5478. 0.30159 0.10222 lineto
  5479. 0.31151 0.09981 lineto
  5480. 0.31647 0.09886 lineto
  5481. 0.32143 0.0981 lineto
  5482. 0.32639 0.0975 lineto
  5483. 0.32887 0.09727 lineto
  5484. 0.33135 0.09708 lineto
  5485. 0.33383 0.09693 lineto
  5486. 0.33507 0.09687 lineto
  5487. 0.33631 0.09682 lineto
  5488. 0.33755 0.09679 lineto
  5489. 0.33879 0.09676 lineto
  5490. 0.34003 0.09675 lineto
  5491. 0.34127 0.09674 lineto
  5492. 0.34251 0.09675 lineto
  5493. 0.34375 0.09676 lineto
  5494. 0.34499 0.09679 lineto
  5495. 0.34623 0.09682 lineto
  5496. 0.34871 0.09693 lineto
  5497. 0.35119 0.09707 lineto
  5498. 0.35367 0.09726 lineto
  5499. 0.35615 0.09748 lineto
  5500. 0.36111 0.09806 lineto
  5501. 0.37103 0.09968 lineto
  5502. 0.38095 0.10193 lineto
  5503. 0.40079 0.10819 lineto
  5504. 0.42063 0.11669 lineto
  5505. 0.46032 0.13965 lineto
  5506. 0.5 0.16929 lineto
  5507. 0.53968 0.20408 lineto
  5508. 0.57937 0.24253 lineto
  5509. Mistroke
  5510. 0.61905 0.28329 lineto
  5511. 0.65873 0.32513 lineto
  5512. 0.69841 0.36699 lineto
  5513. 0.7381 0.40795 lineto
  5514. 0.77778 0.44728 lineto
  5515. 0.81746 0.48439 lineto
  5516. 0.85714 0.51882 lineto
  5517. 0.89683 0.55024 lineto
  5518. 0.93651 0.57845 lineto
  5519. 0.97619 0.60332 lineto
  5520. Mfstroke
  5521. grestore
  5522. grestore
  5523. grestore
  5524. grestore
  5525. % End of Graphics
  5526. MathPictureEnd
  5527. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; ]
  5528. %!
  5529. %%Creator: Mathematica
  5530. %%AspectRatio: 0.61803 
  5531. MathPictureStart
  5532. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  5533. % Scaling calculations
  5534. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  5535. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  5536. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  5537. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  5538. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  5539. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  5540. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  5541. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  5542. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  5543. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  5544. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  5545. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  5546. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  5547. ] MathScale
  5548. % Start of Graphics
  5549. 1 setlinecap
  5550. 1 setlinejoin
  5551. newpath
  5552. %%Object: Graphics
  5553. [ ] 0 setdash
  5554. 0 setgray
  5555. gsave
  5556. gsave
  5557. 0.002 setlinewidth
  5558. 0.18254 0.01472 moveto
  5559. 0.18254 0.02097 lineto
  5560. stroke
  5561. grestore
  5562. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  5563. gsave
  5564. 0.002 setlinewidth
  5565. 0.34127 0.01472 moveto
  5566. 0.34127 0.02097 lineto
  5567. stroke
  5568. grestore
  5569. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  5570. gsave
  5571. 0.002 setlinewidth
  5572. 0.5 0.01472 moveto
  5573. 0.5 0.02097 lineto
  5574. stroke
  5575. grestore
  5576. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  5577. gsave
  5578. 0.002 setlinewidth
  5579. 0.65873 0.01472 moveto
  5580. 0.65873 0.02097 lineto
  5581. stroke
  5582. grestore
  5583. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  5584. gsave
  5585. 0.002 setlinewidth
  5586. 0.81746 0.01472 moveto
  5587. 0.81746 0.02097 lineto
  5588. stroke
  5589. grestore
  5590. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  5591. gsave
  5592. 0.002 setlinewidth
  5593. 0.97619 0.01472 moveto
  5594. 0.97619 0.02097 lineto
  5595. stroke
  5596. grestore
  5597. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  5598. gsave
  5599. 0.001 setlinewidth
  5600. 0.05556 0.01472 moveto
  5601. 0.05556 0.01847 lineto
  5602. stroke
  5603. grestore
  5604. gsave
  5605. 0.001 setlinewidth
  5606. 0.0873 0.01472 moveto
  5607. 0.0873 0.01847 lineto
  5608. stroke
  5609. grestore
  5610. gsave
  5611. 0.001 setlinewidth
  5612. 0.11905 0.01472 moveto
  5613. 0.11905 0.01847 lineto
  5614. stroke
  5615. grestore
  5616. gsave
  5617. 0.001 setlinewidth
  5618. 0.15079 0.01472 moveto
  5619. 0.15079 0.01847 lineto
  5620. stroke
  5621. grestore
  5622. gsave
  5623. 0.001 setlinewidth
  5624. 0.21429 0.01472 moveto
  5625. 0.21429 0.01847 lineto
  5626. stroke
  5627. grestore
  5628. gsave
  5629. 0.001 setlinewidth
  5630. 0.24603 0.01472 moveto
  5631. 0.24603 0.01847 lineto
  5632. stroke
  5633. grestore
  5634. gsave
  5635. 0.001 setlinewidth
  5636. 0.27778 0.01472 moveto
  5637. 0.27778 0.01847 lineto
  5638. stroke
  5639. grestore
  5640. gsave
  5641. 0.001 setlinewidth
  5642. 0.30952 0.01472 moveto
  5643. 0.30952 0.01847 lineto
  5644. stroke
  5645. grestore
  5646. gsave
  5647. 0.001 setlinewidth
  5648. 0.37302 0.01472 moveto
  5649. 0.37302 0.01847 lineto
  5650. stroke
  5651. grestore
  5652. gsave
  5653. 0.001 setlinewidth
  5654. 0.40476 0.01472 moveto
  5655. 0.40476 0.01847 lineto
  5656. stroke
  5657. grestore
  5658. gsave
  5659. 0.001 setlinewidth
  5660. 0.43651 0.01472 moveto
  5661. 0.43651 0.01847 lineto
  5662. stroke
  5663. grestore
  5664. gsave
  5665. 0.001 setlinewidth
  5666. 0.46825 0.01472 moveto
  5667. 0.46825 0.01847 lineto
  5668. stroke
  5669. grestore
  5670. gsave
  5671. 0.001 setlinewidth
  5672. 0.53175 0.01472 moveto
  5673. 0.53175 0.01847 lineto
  5674. stroke
  5675. grestore
  5676. gsave
  5677. 0.001 setlinewidth
  5678. 0.56349 0.01472 moveto
  5679. 0.56349 0.01847 lineto
  5680. stroke
  5681. grestore
  5682. gsave
  5683. 0.001 setlinewidth
  5684. 0.59524 0.01472 moveto
  5685. 0.59524 0.01847 lineto
  5686. stroke
  5687. grestore
  5688. gsave
  5689. 0.001 setlinewidth
  5690. 0.62698 0.01472 moveto
  5691. 0.62698 0.01847 lineto
  5692. stroke
  5693. grestore
  5694. gsave
  5695. 0.001 setlinewidth
  5696. 0.69048 0.01472 moveto
  5697. 0.69048 0.01847 lineto
  5698. stroke
  5699. grestore
  5700. gsave
  5701. 0.001 setlinewidth
  5702. 0.72222 0.01472 moveto
  5703. 0.72222 0.01847 lineto
  5704. stroke
  5705. grestore
  5706. gsave
  5707. 0.001 setlinewidth
  5708. 0.75397 0.01472 moveto
  5709. 0.75397 0.01847 lineto
  5710. stroke
  5711. grestore
  5712. gsave
  5713. 0.001 setlinewidth
  5714. 0.78571 0.01472 moveto
  5715. 0.78571 0.01847 lineto
  5716. stroke
  5717. grestore
  5718. gsave
  5719. 0.001 setlinewidth
  5720. 0.84921 0.01472 moveto
  5721. 0.84921 0.01847 lineto
  5722. stroke
  5723. grestore
  5724. gsave
  5725. 0.001 setlinewidth
  5726. 0.88095 0.01472 moveto
  5727. 0.88095 0.01847 lineto
  5728. stroke
  5729. grestore
  5730. gsave
  5731. 0.001 setlinewidth
  5732. 0.9127 0.01472 moveto
  5733. 0.9127 0.01847 lineto
  5734. stroke
  5735. grestore
  5736. gsave
  5737. 0.001 setlinewidth
  5738. 0.94444 0.01472 moveto
  5739. 0.94444 0.01847 lineto
  5740. stroke
  5741. grestore
  5742. gsave
  5743. 0.002 setlinewidth
  5744. 0 0.01472 moveto
  5745. 1 0.01472 lineto
  5746. stroke
  5747. grestore
  5748. gsave
  5749. 0.002 setlinewidth
  5750. 0.02381 0.13888 moveto
  5751. 0.03006 0.13888 lineto
  5752. stroke
  5753. grestore
  5754. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  5755. gsave
  5756. 0.002 setlinewidth
  5757. 0.02381 0.26305 moveto
  5758. 0.03006 0.26305 lineto
  5759. stroke
  5760. grestore
  5761. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  5762. gsave
  5763. 0.002 setlinewidth
  5764. 0.02381 0.38722 moveto
  5765. 0.03006 0.38722 lineto
  5766. stroke
  5767. grestore
  5768. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  5769. gsave
  5770. 0.002 setlinewidth
  5771. 0.02381 0.51138 moveto
  5772. 0.03006 0.51138 lineto
  5773. stroke
  5774. grestore
  5775. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  5776. gsave
  5777. 0.001 setlinewidth
  5778. 0.02381 0.03955 moveto
  5779. 0.02756 0.03955 lineto
  5780. stroke
  5781. grestore
  5782. gsave
  5783. 0.001 setlinewidth
  5784. 0.02381 0.06438 moveto
  5785. 0.02756 0.06438 lineto
  5786. stroke
  5787. grestore
  5788. gsave
  5789. 0.001 setlinewidth
  5790. 0.02381 0.08922 moveto
  5791. 0.02756 0.08922 lineto
  5792. stroke
  5793. grestore
  5794. gsave
  5795. 0.001 setlinewidth
  5796. 0.02381 0.11405 moveto
  5797. 0.02756 0.11405 lineto
  5798. stroke
  5799. grestore
  5800. gsave
  5801. 0.001 setlinewidth
  5802. 0.02381 0.16372 moveto
  5803. 0.02756 0.16372 lineto
  5804. stroke
  5805. grestore
  5806. gsave
  5807. 0.001 setlinewidth
  5808. 0.02381 0.18855 moveto
  5809. 0.02756 0.18855 lineto
  5810. stroke
  5811. grestore
  5812. gsave
  5813. 0.001 setlinewidth
  5814. 0.02381 0.21338 moveto
  5815. 0.02756 0.21338 lineto
  5816. stroke
  5817. grestore
  5818. gsave
  5819. 0.001 setlinewidth
  5820. 0.02381 0.23822 moveto
  5821. 0.02756 0.23822 lineto
  5822. stroke
  5823. grestore
  5824. gsave
  5825. 0.001 setlinewidth
  5826. 0.02381 0.28788 moveto
  5827. 0.02756 0.28788 lineto
  5828. stroke
  5829. grestore
  5830. gsave
  5831. 0.001 setlinewidth
  5832. 0.02381 0.31272 moveto
  5833. 0.02756 0.31272 lineto
  5834. stroke
  5835. grestore
  5836. gsave
  5837. 0.001 setlinewidth
  5838. 0.02381 0.33755 moveto
  5839. 0.02756 0.33755 lineto
  5840. stroke
  5841. grestore
  5842. gsave
  5843. 0.001 setlinewidth
  5844. 0.02381 0.36238 moveto
  5845. 0.02756 0.36238 lineto
  5846. stroke
  5847. grestore
  5848. gsave
  5849. 0.001 setlinewidth
  5850. 0.02381 0.41205 moveto
  5851. 0.02756 0.41205 lineto
  5852. stroke
  5853. grestore
  5854. gsave
  5855. 0.001 setlinewidth
  5856. 0.02381 0.43688 moveto
  5857. 0.02756 0.43688 lineto
  5858. stroke
  5859. grestore
  5860. gsave
  5861. 0.001 setlinewidth
  5862. 0.02381 0.46172 moveto
  5863. 0.02756 0.46172 lineto
  5864. stroke
  5865. grestore
  5866. gsave
  5867. 0.001 setlinewidth
  5868. 0.02381 0.48655 moveto
  5869. 0.02756 0.48655 lineto
  5870. stroke
  5871. grestore
  5872. gsave
  5873. 0.001 setlinewidth
  5874. 0.02381 0.53622 moveto
  5875. 0.02756 0.53622 lineto
  5876. stroke
  5877. grestore
  5878. gsave
  5879. 0.001 setlinewidth
  5880. 0.02381 0.56105 moveto
  5881. 0.02756 0.56105 lineto
  5882. stroke
  5883. grestore
  5884. gsave
  5885. 0.001 setlinewidth
  5886. 0.02381 0.58588 moveto
  5887. 0.02756 0.58588 lineto
  5888. stroke
  5889. grestore
  5890. gsave
  5891. 0.001 setlinewidth
  5892. 0.02381 0.61072 moveto
  5893. 0.02756 0.61072 lineto
  5894. stroke
  5895. grestore
  5896. gsave
  5897. 0.002 setlinewidth
  5898. 0.02381 0 moveto
  5899. 0.02381 0.61803 lineto
  5900. stroke
  5901. grestore
  5902. grestore
  5903. 0 0 moveto
  5904. 1 0 lineto
  5905. 1 0.61803 lineto
  5906. 0 0.61803 lineto
  5907. closepath
  5908. clip
  5909. newpath
  5910. gsave
  5911. gsave
  5912. gsave
  5913. 0.25 setgray
  5914. 0.02381 0.01472 moveto
  5915. 0.02381 0.32513 lineto
  5916. 0.05556 0.31446 lineto
  5917. 0.0873 0.28854 lineto
  5918. 0.11905 0.25476 lineto
  5919. 0.15079 0.2186 lineto
  5920. 0.18254 0.18392 lineto
  5921. 0.21429 0.15341 lineto
  5922. 0.24603 0.12875 lineto
  5923. 0.27778 0.11089 lineto
  5924. 0.30952 0.10023 lineto
  5925. 0.34127 0.09674 lineto
  5926. 0.37302 0.10008 lineto
  5927. 0.40476 0.10972 lineto
  5928. 0.43651 0.12497 lineto
  5929. 0.46825 0.14509 lineto
  5930. 0.5 0.16929 lineto
  5931. 0.53175 0.19678 lineto
  5932. 0.56349 0.2268 lineto
  5933. 0.59524 0.25863 lineto
  5934. 0.59524 0.01472 lineto
  5935. 0.02381 0.01472 lineto
  5936. fill
  5937. grestore
  5938. grestore
  5939. gsave
  5940. gsave
  5941. gsave
  5942. 0.015 setlinewidth
  5943. 0.02381 0.32513 moveto
  5944. 0.02505 0.32511 lineto
  5945. 0.02629 0.32506 lineto
  5946. 0.02753 0.32497 lineto
  5947. 0.02877 0.32484 lineto
  5948. 0.03125 0.32447 lineto
  5949. 0.03373 0.32398 lineto
  5950. 0.03869 0.32259 lineto
  5951. 0.04365 0.32072 lineto
  5952. 0.05357 0.31566 lineto
  5953. 0.06349 0.30908 lineto
  5954. 0.10317 0.27225 lineto
  5955. 0.14286 0.22763 lineto
  5956. 0.18254 0.18392 lineto
  5957. 0.22222 0.14665 lineto
  5958. 0.24206 0.13147 lineto
  5959. 0.2619 0.11893 lineto
  5960. 0.28175 0.10916 lineto
  5961. 0.29167 0.10534 lineto
  5962. 0.30159 0.10222 lineto
  5963. 0.31151 0.09981 lineto
  5964. 0.31647 0.09886 lineto
  5965. 0.32143 0.0981 lineto
  5966. 0.32639 0.0975 lineto
  5967. 0.32887 0.09727 lineto
  5968. 0.33135 0.09708 lineto
  5969. 0.33383 0.09693 lineto
  5970. 0.33507 0.09687 lineto
  5971. 0.33631 0.09682 lineto
  5972. 0.33755 0.09679 lineto
  5973. 0.33879 0.09676 lineto
  5974. 0.34003 0.09675 lineto
  5975. 0.34127 0.09674 lineto
  5976. 0.34251 0.09675 lineto
  5977. 0.34375 0.09676 lineto
  5978. 0.34499 0.09679 lineto
  5979. 0.34623 0.09682 lineto
  5980. 0.34871 0.09693 lineto
  5981. 0.35119 0.09707 lineto
  5982. 0.35367 0.09726 lineto
  5983. 0.35615 0.09748 lineto
  5984. 0.36111 0.09806 lineto
  5985. 0.37103 0.09968 lineto
  5986. 0.38095 0.10193 lineto
  5987. 0.40079 0.10819 lineto
  5988. 0.42063 0.11669 lineto
  5989. 0.46032 0.13965 lineto
  5990. 0.5 0.16929 lineto
  5991. 0.53968 0.20408 lineto
  5992. 0.57937 0.24253 lineto
  5993. Mistroke
  5994. 0.61905 0.28329 lineto
  5995. 0.65873 0.32513 lineto
  5996. 0.69841 0.36699 lineto
  5997. 0.7381 0.40795 lineto
  5998. 0.77778 0.44728 lineto
  5999. 0.81746 0.48439 lineto
  6000. 0.85714 0.51882 lineto
  6001. 0.89683 0.55024 lineto
  6002. 0.93651 0.57845 lineto
  6003. 0.97619 0.60332 lineto
  6004. Mfstroke
  6005. grestore
  6006. grestore
  6007. grestore
  6008. grestore
  6009. % End of Graphics
  6010. MathPictureEnd
  6011. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; ]
  6012. %!
  6013. %%Creator: Mathematica
  6014. %%AspectRatio: 0.61803 
  6015. MathPictureStart
  6016. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  6017. % Scaling calculations
  6018. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  6019. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  6020. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  6021. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  6022. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  6023. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  6024. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  6025. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  6026. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  6027. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  6028. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  6029. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  6030. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  6031. ] MathScale
  6032. % Start of Graphics
  6033. 1 setlinecap
  6034. 1 setlinejoin
  6035. newpath
  6036. %%Object: Graphics
  6037. [ ] 0 setdash
  6038. 0 setgray
  6039. gsave
  6040. gsave
  6041. 0.002 setlinewidth
  6042. 0.18254 0.01472 moveto
  6043. 0.18254 0.02097 lineto
  6044. stroke
  6045. grestore
  6046. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  6047. gsave
  6048. 0.002 setlinewidth
  6049. 0.34127 0.01472 moveto
  6050. 0.34127 0.02097 lineto
  6051. stroke
  6052. grestore
  6053. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  6054. gsave
  6055. 0.002 setlinewidth
  6056. 0.5 0.01472 moveto
  6057. 0.5 0.02097 lineto
  6058. stroke
  6059. grestore
  6060. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  6061. gsave
  6062. 0.002 setlinewidth
  6063. 0.65873 0.01472 moveto
  6064. 0.65873 0.02097 lineto
  6065. stroke
  6066. grestore
  6067. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  6068. gsave
  6069. 0.002 setlinewidth
  6070. 0.81746 0.01472 moveto
  6071. 0.81746 0.02097 lineto
  6072. stroke
  6073. grestore
  6074. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  6075. gsave
  6076. 0.002 setlinewidth
  6077. 0.97619 0.01472 moveto
  6078. 0.97619 0.02097 lineto
  6079. stroke
  6080. grestore
  6081. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  6082. gsave
  6083. 0.001 setlinewidth
  6084. 0.05556 0.01472 moveto
  6085. 0.05556 0.01847 lineto
  6086. stroke
  6087. grestore
  6088. gsave
  6089. 0.001 setlinewidth
  6090. 0.0873 0.01472 moveto
  6091. 0.0873 0.01847 lineto
  6092. stroke
  6093. grestore
  6094. gsave
  6095. 0.001 setlinewidth
  6096. 0.11905 0.01472 moveto
  6097. 0.11905 0.01847 lineto
  6098. stroke
  6099. grestore
  6100. gsave
  6101. 0.001 setlinewidth
  6102. 0.15079 0.01472 moveto
  6103. 0.15079 0.01847 lineto
  6104. stroke
  6105. grestore
  6106. gsave
  6107. 0.001 setlinewidth
  6108. 0.21429 0.01472 moveto
  6109. 0.21429 0.01847 lineto
  6110. stroke
  6111. grestore
  6112. gsave
  6113. 0.001 setlinewidth
  6114. 0.24603 0.01472 moveto
  6115. 0.24603 0.01847 lineto
  6116. stroke
  6117. grestore
  6118. gsave
  6119. 0.001 setlinewidth
  6120. 0.27778 0.01472 moveto
  6121. 0.27778 0.01847 lineto
  6122. stroke
  6123. grestore
  6124. gsave
  6125. 0.001 setlinewidth
  6126. 0.30952 0.01472 moveto
  6127. 0.30952 0.01847 lineto
  6128. stroke
  6129. grestore
  6130. gsave
  6131. 0.001 setlinewidth
  6132. 0.37302 0.01472 moveto
  6133. 0.37302 0.01847 lineto
  6134. stroke
  6135. grestore
  6136. gsave
  6137. 0.001 setlinewidth
  6138. 0.40476 0.01472 moveto
  6139. 0.40476 0.01847 lineto
  6140. stroke
  6141. grestore
  6142. gsave
  6143. 0.001 setlinewidth
  6144. 0.43651 0.01472 moveto
  6145. 0.43651 0.01847 lineto
  6146. stroke
  6147. grestore
  6148. gsave
  6149. 0.001 setlinewidth
  6150. 0.46825 0.01472 moveto
  6151. 0.46825 0.01847 lineto
  6152. stroke
  6153. grestore
  6154. gsave
  6155. 0.001 setlinewidth
  6156. 0.53175 0.01472 moveto
  6157. 0.53175 0.01847 lineto
  6158. stroke
  6159. grestore
  6160. gsave
  6161. 0.001 setlinewidth
  6162. 0.56349 0.01472 moveto
  6163. 0.56349 0.01847 lineto
  6164. stroke
  6165. grestore
  6166. gsave
  6167. 0.001 setlinewidth
  6168. 0.59524 0.01472 moveto
  6169. 0.59524 0.01847 lineto
  6170. stroke
  6171. grestore
  6172. gsave
  6173. 0.001 setlinewidth
  6174. 0.62698 0.01472 moveto
  6175. 0.62698 0.01847 lineto
  6176. stroke
  6177. grestore
  6178. gsave
  6179. 0.001 setlinewidth
  6180. 0.69048 0.01472 moveto
  6181. 0.69048 0.01847 lineto
  6182. stroke
  6183. grestore
  6184. gsave
  6185. 0.001 setlinewidth
  6186. 0.72222 0.01472 moveto
  6187. 0.72222 0.01847 lineto
  6188. stroke
  6189. grestore
  6190. gsave
  6191. 0.001 setlinewidth
  6192. 0.75397 0.01472 moveto
  6193. 0.75397 0.01847 lineto
  6194. stroke
  6195. grestore
  6196. gsave
  6197. 0.001 setlinewidth
  6198. 0.78571 0.01472 moveto
  6199. 0.78571 0.01847 lineto
  6200. stroke
  6201. grestore
  6202. gsave
  6203. 0.001 setlinewidth
  6204. 0.84921 0.01472 moveto
  6205. 0.84921 0.01847 lineto
  6206. stroke
  6207. grestore
  6208. gsave
  6209. 0.001 setlinewidth
  6210. 0.88095 0.01472 moveto
  6211. 0.88095 0.01847 lineto
  6212. stroke
  6213. grestore
  6214. gsave
  6215. 0.001 setlinewidth
  6216. 0.9127 0.01472 moveto
  6217. 0.9127 0.01847 lineto
  6218. stroke
  6219. grestore
  6220. gsave
  6221. 0.001 setlinewidth
  6222. 0.94444 0.01472 moveto
  6223. 0.94444 0.01847 lineto
  6224. stroke
  6225. grestore
  6226. gsave
  6227. 0.002 setlinewidth
  6228. 0 0.01472 moveto
  6229. 1 0.01472 lineto
  6230. stroke
  6231. grestore
  6232. gsave
  6233. 0.002 setlinewidth
  6234. 0.02381 0.13888 moveto
  6235. 0.03006 0.13888 lineto
  6236. stroke
  6237. grestore
  6238. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  6239. gsave
  6240. 0.002 setlinewidth
  6241. 0.02381 0.26305 moveto
  6242. 0.03006 0.26305 lineto
  6243. stroke
  6244. grestore
  6245. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  6246. gsave
  6247. 0.002 setlinewidth
  6248. 0.02381 0.38722 moveto
  6249. 0.03006 0.38722 lineto
  6250. stroke
  6251. grestore
  6252. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  6253. gsave
  6254. 0.002 setlinewidth
  6255. 0.02381 0.51138 moveto
  6256. 0.03006 0.51138 lineto
  6257. stroke
  6258. grestore
  6259. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  6260. gsave
  6261. 0.001 setlinewidth
  6262. 0.02381 0.03955 moveto
  6263. 0.02756 0.03955 lineto
  6264. stroke
  6265. grestore
  6266. gsave
  6267. 0.001 setlinewidth
  6268. 0.02381 0.06438 moveto
  6269. 0.02756 0.06438 lineto
  6270. stroke
  6271. grestore
  6272. gsave
  6273. 0.001 setlinewidth
  6274. 0.02381 0.08922 moveto
  6275. 0.02756 0.08922 lineto
  6276. stroke
  6277. grestore
  6278. gsave
  6279. 0.001 setlinewidth
  6280. 0.02381 0.11405 moveto
  6281. 0.02756 0.11405 lineto
  6282. stroke
  6283. grestore
  6284. gsave
  6285. 0.001 setlinewidth
  6286. 0.02381 0.16372 moveto
  6287. 0.02756 0.16372 lineto
  6288. stroke
  6289. grestore
  6290. gsave
  6291. 0.001 setlinewidth
  6292. 0.02381 0.18855 moveto
  6293. 0.02756 0.18855 lineto
  6294. stroke
  6295. grestore
  6296. gsave
  6297. 0.001 setlinewidth
  6298. 0.02381 0.21338 moveto
  6299. 0.02756 0.21338 lineto
  6300. stroke
  6301. grestore
  6302. gsave
  6303. 0.001 setlinewidth
  6304. 0.02381 0.23822 moveto
  6305. 0.02756 0.23822 lineto
  6306. stroke
  6307. grestore
  6308. gsave
  6309. 0.001 setlinewidth
  6310. 0.02381 0.28788 moveto
  6311. 0.02756 0.28788 lineto
  6312. stroke
  6313. grestore
  6314. gsave
  6315. 0.001 setlinewidth
  6316. 0.02381 0.31272 moveto
  6317. 0.02756 0.31272 lineto
  6318. stroke
  6319. grestore
  6320. gsave
  6321. 0.001 setlinewidth
  6322. 0.02381 0.33755 moveto
  6323. 0.02756 0.33755 lineto
  6324. stroke
  6325. grestore
  6326. gsave
  6327. 0.001 setlinewidth
  6328. 0.02381 0.36238 moveto
  6329. 0.02756 0.36238 lineto
  6330. stroke
  6331. grestore
  6332. gsave
  6333. 0.001 setlinewidth
  6334. 0.02381 0.41205 moveto
  6335. 0.02756 0.41205 lineto
  6336. stroke
  6337. grestore
  6338. gsave
  6339. 0.001 setlinewidth
  6340. 0.02381 0.43688 moveto
  6341. 0.02756 0.43688 lineto
  6342. stroke
  6343. grestore
  6344. gsave
  6345. 0.001 setlinewidth
  6346. 0.02381 0.46172 moveto
  6347. 0.02756 0.46172 lineto
  6348. stroke
  6349. grestore
  6350. gsave
  6351. 0.001 setlinewidth
  6352. 0.02381 0.48655 moveto
  6353. 0.02756 0.48655 lineto
  6354. stroke
  6355. grestore
  6356. gsave
  6357. 0.001 setlinewidth
  6358. 0.02381 0.53622 moveto
  6359. 0.02756 0.53622 lineto
  6360. stroke
  6361. grestore
  6362. gsave
  6363. 0.001 setlinewidth
  6364. 0.02381 0.56105 moveto
  6365. 0.02756 0.56105 lineto
  6366. stroke
  6367. grestore
  6368. gsave
  6369. 0.001 setlinewidth
  6370. 0.02381 0.58588 moveto
  6371. 0.02756 0.58588 lineto
  6372. stroke
  6373. grestore
  6374. gsave
  6375. 0.001 setlinewidth
  6376. 0.02381 0.61072 moveto
  6377. 0.02756 0.61072 lineto
  6378. stroke
  6379. grestore
  6380. gsave
  6381. 0.002 setlinewidth
  6382. 0.02381 0 moveto
  6383. 0.02381 0.61803 lineto
  6384. stroke
  6385. grestore
  6386. grestore
  6387. 0 0 moveto
  6388. 1 0 lineto
  6389. 1 0.61803 lineto
  6390. 0 0.61803 lineto
  6391. closepath
  6392. clip
  6393. newpath
  6394. gsave
  6395. gsave
  6396. gsave
  6397. 0.25 setgray
  6398. 0.02381 0.01472 moveto
  6399. 0.02381 0.32513 lineto
  6400. 0.05556 0.31446 lineto
  6401. 0.0873 0.28854 lineto
  6402. 0.11905 0.25476 lineto
  6403. 0.15079 0.2186 lineto
  6404. 0.18254 0.18392 lineto
  6405. 0.21429 0.15341 lineto
  6406. 0.24603 0.12875 lineto
  6407. 0.27778 0.11089 lineto
  6408. 0.30952 0.10023 lineto
  6409. 0.34127 0.09674 lineto
  6410. 0.37302 0.10008 lineto
  6411. 0.40476 0.10972 lineto
  6412. 0.43651 0.12497 lineto
  6413. 0.46825 0.14509 lineto
  6414. 0.5 0.16929 lineto
  6415. 0.53175 0.19678 lineto
  6416. 0.56349 0.2268 lineto
  6417. 0.59524 0.25863 lineto
  6418. 0.62698 0.29161 lineto
  6419. 0.65873 0.32513 lineto
  6420. 0.65873 0.01472 lineto
  6421. 0.02381 0.01472 lineto
  6422. fill
  6423. grestore
  6424. grestore
  6425. gsave
  6426. gsave
  6427. gsave
  6428. 0.015 setlinewidth
  6429. 0.02381 0.32513 moveto
  6430. 0.02505 0.32511 lineto
  6431. 0.02629 0.32506 lineto
  6432. 0.02753 0.32497 lineto
  6433. 0.02877 0.32484 lineto
  6434. 0.03125 0.32447 lineto
  6435. 0.03373 0.32398 lineto
  6436. 0.03869 0.32259 lineto
  6437. 0.04365 0.32072 lineto
  6438. 0.05357 0.31566 lineto
  6439. 0.06349 0.30908 lineto
  6440. 0.10317 0.27225 lineto
  6441. 0.14286 0.22763 lineto
  6442. 0.18254 0.18392 lineto
  6443. 0.22222 0.14665 lineto
  6444. 0.24206 0.13147 lineto
  6445. 0.2619 0.11893 lineto
  6446. 0.28175 0.10916 lineto
  6447. 0.29167 0.10534 lineto
  6448. 0.30159 0.10222 lineto
  6449. 0.31151 0.09981 lineto
  6450. 0.31647 0.09886 lineto
  6451. 0.32143 0.0981 lineto
  6452. 0.32639 0.0975 lineto
  6453. 0.32887 0.09727 lineto
  6454. 0.33135 0.09708 lineto
  6455. 0.33383 0.09693 lineto
  6456. 0.33507 0.09687 lineto
  6457. 0.33631 0.09682 lineto
  6458. 0.33755 0.09679 lineto
  6459. 0.33879 0.09676 lineto
  6460. 0.34003 0.09675 lineto
  6461. 0.34127 0.09674 lineto
  6462. 0.34251 0.09675 lineto
  6463. 0.34375 0.09676 lineto
  6464. 0.34499 0.09679 lineto
  6465. 0.34623 0.09682 lineto
  6466. 0.34871 0.09693 lineto
  6467. 0.35119 0.09707 lineto
  6468. 0.35367 0.09726 lineto
  6469. 0.35615 0.09748 lineto
  6470. 0.36111 0.09806 lineto
  6471. 0.37103 0.09968 lineto
  6472. 0.38095 0.10193 lineto
  6473. 0.40079 0.10819 lineto
  6474. 0.42063 0.11669 lineto
  6475. 0.46032 0.13965 lineto
  6476. 0.5 0.16929 lineto
  6477. 0.53968 0.20408 lineto
  6478. 0.57937 0.24253 lineto
  6479. Mistroke
  6480. 0.61905 0.28329 lineto
  6481. 0.65873 0.32513 lineto
  6482. 0.69841 0.36699 lineto
  6483. 0.7381 0.40795 lineto
  6484. 0.77778 0.44728 lineto
  6485. 0.81746 0.48439 lineto
  6486. 0.85714 0.51882 lineto
  6487. 0.89683 0.55024 lineto
  6488. 0.93651 0.57845 lineto
  6489. 0.97619 0.60332 lineto
  6490. Mfstroke
  6491. grestore
  6492. grestore
  6493. grestore
  6494. grestore
  6495. % End of Graphics
  6496. MathPictureEnd
  6497. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; ]
  6498. %!
  6499. %%Creator: Mathematica
  6500. %%AspectRatio: 0.61803 
  6501. MathPictureStart
  6502. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  6503. % Scaling calculations
  6504. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  6505. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  6506. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  6507. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  6508. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  6509. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  6510. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  6511. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  6512. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  6513. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  6514. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  6515. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  6516. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  6517. ] MathScale
  6518. % Start of Graphics
  6519. 1 setlinecap
  6520. 1 setlinejoin
  6521. newpath
  6522. %%Object: Graphics
  6523. [ ] 0 setdash
  6524. 0 setgray
  6525. gsave
  6526. gsave
  6527. 0.002 setlinewidth
  6528. 0.18254 0.01472 moveto
  6529. 0.18254 0.02097 lineto
  6530. stroke
  6531. grestore
  6532. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  6533. gsave
  6534. 0.002 setlinewidth
  6535. 0.34127 0.01472 moveto
  6536. 0.34127 0.02097 lineto
  6537. stroke
  6538. grestore
  6539. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  6540. gsave
  6541. 0.002 setlinewidth
  6542. 0.5 0.01472 moveto
  6543. 0.5 0.02097 lineto
  6544. stroke
  6545. grestore
  6546. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  6547. gsave
  6548. 0.002 setlinewidth
  6549. 0.65873 0.01472 moveto
  6550. 0.65873 0.02097 lineto
  6551. stroke
  6552. grestore
  6553. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  6554. gsave
  6555. 0.002 setlinewidth
  6556. 0.81746 0.01472 moveto
  6557. 0.81746 0.02097 lineto
  6558. stroke
  6559. grestore
  6560. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  6561. gsave
  6562. 0.002 setlinewidth
  6563. 0.97619 0.01472 moveto
  6564. 0.97619 0.02097 lineto
  6565. stroke
  6566. grestore
  6567. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  6568. gsave
  6569. 0.001 setlinewidth
  6570. 0.05556 0.01472 moveto
  6571. 0.05556 0.01847 lineto
  6572. stroke
  6573. grestore
  6574. gsave
  6575. 0.001 setlinewidth
  6576. 0.0873 0.01472 moveto
  6577. 0.0873 0.01847 lineto
  6578. stroke
  6579. grestore
  6580. gsave
  6581. 0.001 setlinewidth
  6582. 0.11905 0.01472 moveto
  6583. 0.11905 0.01847 lineto
  6584. stroke
  6585. grestore
  6586. gsave
  6587. 0.001 setlinewidth
  6588. 0.15079 0.01472 moveto
  6589. 0.15079 0.01847 lineto
  6590. stroke
  6591. grestore
  6592. gsave
  6593. 0.001 setlinewidth
  6594. 0.21429 0.01472 moveto
  6595. 0.21429 0.01847 lineto
  6596. stroke
  6597. grestore
  6598. gsave
  6599. 0.001 setlinewidth
  6600. 0.24603 0.01472 moveto
  6601. 0.24603 0.01847 lineto
  6602. stroke
  6603. grestore
  6604. gsave
  6605. 0.001 setlinewidth
  6606. 0.27778 0.01472 moveto
  6607. 0.27778 0.01847 lineto
  6608. stroke
  6609. grestore
  6610. gsave
  6611. 0.001 setlinewidth
  6612. 0.30952 0.01472 moveto
  6613. 0.30952 0.01847 lineto
  6614. stroke
  6615. grestore
  6616. gsave
  6617. 0.001 setlinewidth
  6618. 0.37302 0.01472 moveto
  6619. 0.37302 0.01847 lineto
  6620. stroke
  6621. grestore
  6622. gsave
  6623. 0.001 setlinewidth
  6624. 0.40476 0.01472 moveto
  6625. 0.40476 0.01847 lineto
  6626. stroke
  6627. grestore
  6628. gsave
  6629. 0.001 setlinewidth
  6630. 0.43651 0.01472 moveto
  6631. 0.43651 0.01847 lineto
  6632. stroke
  6633. grestore
  6634. gsave
  6635. 0.001 setlinewidth
  6636. 0.46825 0.01472 moveto
  6637. 0.46825 0.01847 lineto
  6638. stroke
  6639. grestore
  6640. gsave
  6641. 0.001 setlinewidth
  6642. 0.53175 0.01472 moveto
  6643. 0.53175 0.01847 lineto
  6644. stroke
  6645. grestore
  6646. gsave
  6647. 0.001 setlinewidth
  6648. 0.56349 0.01472 moveto
  6649. 0.56349 0.01847 lineto
  6650. stroke
  6651. grestore
  6652. gsave
  6653. 0.001 setlinewidth
  6654. 0.59524 0.01472 moveto
  6655. 0.59524 0.01847 lineto
  6656. stroke
  6657. grestore
  6658. gsave
  6659. 0.001 setlinewidth
  6660. 0.62698 0.01472 moveto
  6661. 0.62698 0.01847 lineto
  6662. stroke
  6663. grestore
  6664. gsave
  6665. 0.001 setlinewidth
  6666. 0.69048 0.01472 moveto
  6667. 0.69048 0.01847 lineto
  6668. stroke
  6669. grestore
  6670. gsave
  6671. 0.001 setlinewidth
  6672. 0.72222 0.01472 moveto
  6673. 0.72222 0.01847 lineto
  6674. stroke
  6675. grestore
  6676. gsave
  6677. 0.001 setlinewidth
  6678. 0.75397 0.01472 moveto
  6679. 0.75397 0.01847 lineto
  6680. stroke
  6681. grestore
  6682. gsave
  6683. 0.001 setlinewidth
  6684. 0.78571 0.01472 moveto
  6685. 0.78571 0.01847 lineto
  6686. stroke
  6687. grestore
  6688. gsave
  6689. 0.001 setlinewidth
  6690. 0.84921 0.01472 moveto
  6691. 0.84921 0.01847 lineto
  6692. stroke
  6693. grestore
  6694. gsave
  6695. 0.001 setlinewidth
  6696. 0.88095 0.01472 moveto
  6697. 0.88095 0.01847 lineto
  6698. stroke
  6699. grestore
  6700. gsave
  6701. 0.001 setlinewidth
  6702. 0.9127 0.01472 moveto
  6703. 0.9127 0.01847 lineto
  6704. stroke
  6705. grestore
  6706. gsave
  6707. 0.001 setlinewidth
  6708. 0.94444 0.01472 moveto
  6709. 0.94444 0.01847 lineto
  6710. stroke
  6711. grestore
  6712. gsave
  6713. 0.002 setlinewidth
  6714. 0 0.01472 moveto
  6715. 1 0.01472 lineto
  6716. stroke
  6717. grestore
  6718. gsave
  6719. 0.002 setlinewidth
  6720. 0.02381 0.13888 moveto
  6721. 0.03006 0.13888 lineto
  6722. stroke
  6723. grestore
  6724. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  6725. gsave
  6726. 0.002 setlinewidth
  6727. 0.02381 0.26305 moveto
  6728. 0.03006 0.26305 lineto
  6729. stroke
  6730. grestore
  6731. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  6732. gsave
  6733. 0.002 setlinewidth
  6734. 0.02381 0.38722 moveto
  6735. 0.03006 0.38722 lineto
  6736. stroke
  6737. grestore
  6738. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  6739. gsave
  6740. 0.002 setlinewidth
  6741. 0.02381 0.51138 moveto
  6742. 0.03006 0.51138 lineto
  6743. stroke
  6744. grestore
  6745. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  6746. gsave
  6747. 0.001 setlinewidth
  6748. 0.02381 0.03955 moveto
  6749. 0.02756 0.03955 lineto
  6750. stroke
  6751. grestore
  6752. gsave
  6753. 0.001 setlinewidth
  6754. 0.02381 0.06438 moveto
  6755. 0.02756 0.06438 lineto
  6756. stroke
  6757. grestore
  6758. gsave
  6759. 0.001 setlinewidth
  6760. 0.02381 0.08922 moveto
  6761. 0.02756 0.08922 lineto
  6762. stroke
  6763. grestore
  6764. gsave
  6765. 0.001 setlinewidth
  6766. 0.02381 0.11405 moveto
  6767. 0.02756 0.11405 lineto
  6768. stroke
  6769. grestore
  6770. gsave
  6771. 0.001 setlinewidth
  6772. 0.02381 0.16372 moveto
  6773. 0.02756 0.16372 lineto
  6774. stroke
  6775. grestore
  6776. gsave
  6777. 0.001 setlinewidth
  6778. 0.02381 0.18855 moveto
  6779. 0.02756 0.18855 lineto
  6780. stroke
  6781. grestore
  6782. gsave
  6783. 0.001 setlinewidth
  6784. 0.02381 0.21338 moveto
  6785. 0.02756 0.21338 lineto
  6786. stroke
  6787. grestore
  6788. gsave
  6789. 0.001 setlinewidth
  6790. 0.02381 0.23822 moveto
  6791. 0.02756 0.23822 lineto
  6792. stroke
  6793. grestore
  6794. gsave
  6795. 0.001 setlinewidth
  6796. 0.02381 0.28788 moveto
  6797. 0.02756 0.28788 lineto
  6798. stroke
  6799. grestore
  6800. gsave
  6801. 0.001 setlinewidth
  6802. 0.02381 0.31272 moveto
  6803. 0.02756 0.31272 lineto
  6804. stroke
  6805. grestore
  6806. gsave
  6807. 0.001 setlinewidth
  6808. 0.02381 0.33755 moveto
  6809. 0.02756 0.33755 lineto
  6810. stroke
  6811. grestore
  6812. gsave
  6813. 0.001 setlinewidth
  6814. 0.02381 0.36238 moveto
  6815. 0.02756 0.36238 lineto
  6816. stroke
  6817. grestore
  6818. gsave
  6819. 0.001 setlinewidth
  6820. 0.02381 0.41205 moveto
  6821. 0.02756 0.41205 lineto
  6822. stroke
  6823. grestore
  6824. gsave
  6825. 0.001 setlinewidth
  6826. 0.02381 0.43688 moveto
  6827. 0.02756 0.43688 lineto
  6828. stroke
  6829. grestore
  6830. gsave
  6831. 0.001 setlinewidth
  6832. 0.02381 0.46172 moveto
  6833. 0.02756 0.46172 lineto
  6834. stroke
  6835. grestore
  6836. gsave
  6837. 0.001 setlinewidth
  6838. 0.02381 0.48655 moveto
  6839. 0.02756 0.48655 lineto
  6840. stroke
  6841. grestore
  6842. gsave
  6843. 0.001 setlinewidth
  6844. 0.02381 0.53622 moveto
  6845. 0.02756 0.53622 lineto
  6846. stroke
  6847. grestore
  6848. gsave
  6849. 0.001 setlinewidth
  6850. 0.02381 0.56105 moveto
  6851. 0.02756 0.56105 lineto
  6852. stroke
  6853. grestore
  6854. gsave
  6855. 0.001 setlinewidth
  6856. 0.02381 0.58588 moveto
  6857. 0.02756 0.58588 lineto
  6858. stroke
  6859. grestore
  6860. gsave
  6861. 0.001 setlinewidth
  6862. 0.02381 0.61072 moveto
  6863. 0.02756 0.61072 lineto
  6864. stroke
  6865. grestore
  6866. gsave
  6867. 0.002 setlinewidth
  6868. 0.02381 0 moveto
  6869. 0.02381 0.61803 lineto
  6870. stroke
  6871. grestore
  6872. grestore
  6873. 0 0 moveto
  6874. 1 0 lineto
  6875. 1 0.61803 lineto
  6876. 0 0.61803 lineto
  6877. closepath
  6878. clip
  6879. newpath
  6880. gsave
  6881. gsave
  6882. gsave
  6883. 0.25 setgray
  6884. 0.02381 0.01472 moveto
  6885. 0.02381 0.32513 lineto
  6886. 0.05556 0.31446 lineto
  6887. 0.0873 0.28854 lineto
  6888. 0.11905 0.25476 lineto
  6889. 0.15079 0.2186 lineto
  6890. 0.18254 0.18392 lineto
  6891. 0.21429 0.15341 lineto
  6892. 0.24603 0.12875 lineto
  6893. 0.27778 0.11089 lineto
  6894. 0.30952 0.10023 lineto
  6895. 0.34127 0.09674 lineto
  6896. 0.37302 0.10008 lineto
  6897. 0.40476 0.10972 lineto
  6898. 0.43651 0.12497 lineto
  6899. 0.46825 0.14509 lineto
  6900. 0.5 0.16929 lineto
  6901. 0.53175 0.19678 lineto
  6902. 0.56349 0.2268 lineto
  6903. 0.59524 0.25863 lineto
  6904. 0.62698 0.29161 lineto
  6905. 0.65873 0.32513 lineto
  6906. 0.69048 0.35866 lineto
  6907. 0.72222 0.39172 lineto
  6908. 0.72222 0.01472 lineto
  6909. 0.02381 0.01472 lineto
  6910. fill
  6911. grestore
  6912. grestore
  6913. gsave
  6914. gsave
  6915. gsave
  6916. 0.015 setlinewidth
  6917. 0.02381 0.32513 moveto
  6918. 0.02505 0.32511 lineto
  6919. 0.02629 0.32506 lineto
  6920. 0.02753 0.32497 lineto
  6921. 0.02877 0.32484 lineto
  6922. 0.03125 0.32447 lineto
  6923. 0.03373 0.32398 lineto
  6924. 0.03869 0.32259 lineto
  6925. 0.04365 0.32072 lineto
  6926. 0.05357 0.31566 lineto
  6927. 0.06349 0.30908 lineto
  6928. 0.10317 0.27225 lineto
  6929. 0.14286 0.22763 lineto
  6930. 0.18254 0.18392 lineto
  6931. 0.22222 0.14665 lineto
  6932. 0.24206 0.13147 lineto
  6933. 0.2619 0.11893 lineto
  6934. 0.28175 0.10916 lineto
  6935. 0.29167 0.10534 lineto
  6936. 0.30159 0.10222 lineto
  6937. 0.31151 0.09981 lineto
  6938. 0.31647 0.09886 lineto
  6939. 0.32143 0.0981 lineto
  6940. 0.32639 0.0975 lineto
  6941. 0.32887 0.09727 lineto
  6942. 0.33135 0.09708 lineto
  6943. 0.33383 0.09693 lineto
  6944. 0.33507 0.09687 lineto
  6945. 0.33631 0.09682 lineto
  6946. 0.33755 0.09679 lineto
  6947. 0.33879 0.09676 lineto
  6948. 0.34003 0.09675 lineto
  6949. 0.34127 0.09674 lineto
  6950. 0.34251 0.09675 lineto
  6951. 0.34375 0.09676 lineto
  6952. 0.34499 0.09679 lineto
  6953. 0.34623 0.09682 lineto
  6954. 0.34871 0.09693 lineto
  6955. 0.35119 0.09707 lineto
  6956. 0.35367 0.09726 lineto
  6957. 0.35615 0.09748 lineto
  6958. 0.36111 0.09806 lineto
  6959. 0.37103 0.09968 lineto
  6960. 0.38095 0.10193 lineto
  6961. 0.40079 0.10819 lineto
  6962. 0.42063 0.11669 lineto
  6963. 0.46032 0.13965 lineto
  6964. 0.5 0.16929 lineto
  6965. 0.53968 0.20408 lineto
  6966. 0.57937 0.24253 lineto
  6967. Mistroke
  6968. 0.61905 0.28329 lineto
  6969. 0.65873 0.32513 lineto
  6970. 0.69841 0.36699 lineto
  6971. 0.7381 0.40795 lineto
  6972. 0.77778 0.44728 lineto
  6973. 0.81746 0.48439 lineto
  6974. 0.85714 0.51882 lineto
  6975. 0.89683 0.55024 lineto
  6976. 0.93651 0.57845 lineto
  6977. 0.97619 0.60332 lineto
  6978. Mfstroke
  6979. grestore
  6980. grestore
  6981. grestore
  6982. grestore
  6983. % End of Graphics
  6984. MathPictureEnd
  6985. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; ]
  6986. %!
  6987. %%Creator: Mathematica
  6988. %%AspectRatio: 0.61803 
  6989. MathPictureStart
  6990. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  6991. % Scaling calculations
  6992. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  6993. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  6994. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  6995. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  6996. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  6997. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  6998. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  6999. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  7000. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  7001. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  7002. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  7003. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  7004. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  7005. ] MathScale
  7006. % Start of Graphics
  7007. 1 setlinecap
  7008. 1 setlinejoin
  7009. newpath
  7010. %%Object: Graphics
  7011. [ ] 0 setdash
  7012. 0 setgray
  7013. gsave
  7014. gsave
  7015. 0.002 setlinewidth
  7016. 0.18254 0.01472 moveto
  7017. 0.18254 0.02097 lineto
  7018. stroke
  7019. grestore
  7020. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  7021. gsave
  7022. 0.002 setlinewidth
  7023. 0.34127 0.01472 moveto
  7024. 0.34127 0.02097 lineto
  7025. stroke
  7026. grestore
  7027. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  7028. gsave
  7029. 0.002 setlinewidth
  7030. 0.5 0.01472 moveto
  7031. 0.5 0.02097 lineto
  7032. stroke
  7033. grestore
  7034. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  7035. gsave
  7036. 0.002 setlinewidth
  7037. 0.65873 0.01472 moveto
  7038. 0.65873 0.02097 lineto
  7039. stroke
  7040. grestore
  7041. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  7042. gsave
  7043. 0.002 setlinewidth
  7044. 0.81746 0.01472 moveto
  7045. 0.81746 0.02097 lineto
  7046. stroke
  7047. grestore
  7048. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  7049. gsave
  7050. 0.002 setlinewidth
  7051. 0.97619 0.01472 moveto
  7052. 0.97619 0.02097 lineto
  7053. stroke
  7054. grestore
  7055. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  7056. gsave
  7057. 0.001 setlinewidth
  7058. 0.05556 0.01472 moveto
  7059. 0.05556 0.01847 lineto
  7060. stroke
  7061. grestore
  7062. gsave
  7063. 0.001 setlinewidth
  7064. 0.0873 0.01472 moveto
  7065. 0.0873 0.01847 lineto
  7066. stroke
  7067. grestore
  7068. gsave
  7069. 0.001 setlinewidth
  7070. 0.11905 0.01472 moveto
  7071. 0.11905 0.01847 lineto
  7072. stroke
  7073. grestore
  7074. gsave
  7075. 0.001 setlinewidth
  7076. 0.15079 0.01472 moveto
  7077. 0.15079 0.01847 lineto
  7078. stroke
  7079. grestore
  7080. gsave
  7081. 0.001 setlinewidth
  7082. 0.21429 0.01472 moveto
  7083. 0.21429 0.01847 lineto
  7084. stroke
  7085. grestore
  7086. gsave
  7087. 0.001 setlinewidth
  7088. 0.24603 0.01472 moveto
  7089. 0.24603 0.01847 lineto
  7090. stroke
  7091. grestore
  7092. gsave
  7093. 0.001 setlinewidth
  7094. 0.27778 0.01472 moveto
  7095. 0.27778 0.01847 lineto
  7096. stroke
  7097. grestore
  7098. gsave
  7099. 0.001 setlinewidth
  7100. 0.30952 0.01472 moveto
  7101. 0.30952 0.01847 lineto
  7102. stroke
  7103. grestore
  7104. gsave
  7105. 0.001 setlinewidth
  7106. 0.37302 0.01472 moveto
  7107. 0.37302 0.01847 lineto
  7108. stroke
  7109. grestore
  7110. gsave
  7111. 0.001 setlinewidth
  7112. 0.40476 0.01472 moveto
  7113. 0.40476 0.01847 lineto
  7114. stroke
  7115. grestore
  7116. gsave
  7117. 0.001 setlinewidth
  7118. 0.43651 0.01472 moveto
  7119. 0.43651 0.01847 lineto
  7120. stroke
  7121. grestore
  7122. gsave
  7123. 0.001 setlinewidth
  7124. 0.46825 0.01472 moveto
  7125. 0.46825 0.01847 lineto
  7126. stroke
  7127. grestore
  7128. gsave
  7129. 0.001 setlinewidth
  7130. 0.53175 0.01472 moveto
  7131. 0.53175 0.01847 lineto
  7132. stroke
  7133. grestore
  7134. gsave
  7135. 0.001 setlinewidth
  7136. 0.56349 0.01472 moveto
  7137. 0.56349 0.01847 lineto
  7138. stroke
  7139. grestore
  7140. gsave
  7141. 0.001 setlinewidth
  7142. 0.59524 0.01472 moveto
  7143. 0.59524 0.01847 lineto
  7144. stroke
  7145. grestore
  7146. gsave
  7147. 0.001 setlinewidth
  7148. 0.62698 0.01472 moveto
  7149. 0.62698 0.01847 lineto
  7150. stroke
  7151. grestore
  7152. gsave
  7153. 0.001 setlinewidth
  7154. 0.69048 0.01472 moveto
  7155. 0.69048 0.01847 lineto
  7156. stroke
  7157. grestore
  7158. gsave
  7159. 0.001 setlinewidth
  7160. 0.72222 0.01472 moveto
  7161. 0.72222 0.01847 lineto
  7162. stroke
  7163. grestore
  7164. gsave
  7165. 0.001 setlinewidth
  7166. 0.75397 0.01472 moveto
  7167. 0.75397 0.01847 lineto
  7168. stroke
  7169. grestore
  7170. gsave
  7171. 0.001 setlinewidth
  7172. 0.78571 0.01472 moveto
  7173. 0.78571 0.01847 lineto
  7174. stroke
  7175. grestore
  7176. gsave
  7177. 0.001 setlinewidth
  7178. 0.84921 0.01472 moveto
  7179. 0.84921 0.01847 lineto
  7180. stroke
  7181. grestore
  7182. gsave
  7183. 0.001 setlinewidth
  7184. 0.88095 0.01472 moveto
  7185. 0.88095 0.01847 lineto
  7186. stroke
  7187. grestore
  7188. gsave
  7189. 0.001 setlinewidth
  7190. 0.9127 0.01472 moveto
  7191. 0.9127 0.01847 lineto
  7192. stroke
  7193. grestore
  7194. gsave
  7195. 0.001 setlinewidth
  7196. 0.94444 0.01472 moveto
  7197. 0.94444 0.01847 lineto
  7198. stroke
  7199. grestore
  7200. gsave
  7201. 0.002 setlinewidth
  7202. 0 0.01472 moveto
  7203. 1 0.01472 lineto
  7204. stroke
  7205. grestore
  7206. gsave
  7207. 0.002 setlinewidth
  7208. 0.02381 0.13888 moveto
  7209. 0.03006 0.13888 lineto
  7210. stroke
  7211. grestore
  7212. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  7213. gsave
  7214. 0.002 setlinewidth
  7215. 0.02381 0.26305 moveto
  7216. 0.03006 0.26305 lineto
  7217. stroke
  7218. grestore
  7219. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  7220. gsave
  7221. 0.002 setlinewidth
  7222. 0.02381 0.38722 moveto
  7223. 0.03006 0.38722 lineto
  7224. stroke
  7225. grestore
  7226. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  7227. gsave
  7228. 0.002 setlinewidth
  7229. 0.02381 0.51138 moveto
  7230. 0.03006 0.51138 lineto
  7231. stroke
  7232. grestore
  7233. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  7234. gsave
  7235. 0.001 setlinewidth
  7236. 0.02381 0.03955 moveto
  7237. 0.02756 0.03955 lineto
  7238. stroke
  7239. grestore
  7240. gsave
  7241. 0.001 setlinewidth
  7242. 0.02381 0.06438 moveto
  7243. 0.02756 0.06438 lineto
  7244. stroke
  7245. grestore
  7246. gsave
  7247. 0.001 setlinewidth
  7248. 0.02381 0.08922 moveto
  7249. 0.02756 0.08922 lineto
  7250. stroke
  7251. grestore
  7252. gsave
  7253. 0.001 setlinewidth
  7254. 0.02381 0.11405 moveto
  7255. 0.02756 0.11405 lineto
  7256. stroke
  7257. grestore
  7258. gsave
  7259. 0.001 setlinewidth
  7260. 0.02381 0.16372 moveto
  7261. 0.02756 0.16372 lineto
  7262. stroke
  7263. grestore
  7264. gsave
  7265. 0.001 setlinewidth
  7266. 0.02381 0.18855 moveto
  7267. 0.02756 0.18855 lineto
  7268. stroke
  7269. grestore
  7270. gsave
  7271. 0.001 setlinewidth
  7272. 0.02381 0.21338 moveto
  7273. 0.02756 0.21338 lineto
  7274. stroke
  7275. grestore
  7276. gsave
  7277. 0.001 setlinewidth
  7278. 0.02381 0.23822 moveto
  7279. 0.02756 0.23822 lineto
  7280. stroke
  7281. grestore
  7282. gsave
  7283. 0.001 setlinewidth
  7284. 0.02381 0.28788 moveto
  7285. 0.02756 0.28788 lineto
  7286. stroke
  7287. grestore
  7288. gsave
  7289. 0.001 setlinewidth
  7290. 0.02381 0.31272 moveto
  7291. 0.02756 0.31272 lineto
  7292. stroke
  7293. grestore
  7294. gsave
  7295. 0.001 setlinewidth
  7296. 0.02381 0.33755 moveto
  7297. 0.02756 0.33755 lineto
  7298. stroke
  7299. grestore
  7300. gsave
  7301. 0.001 setlinewidth
  7302. 0.02381 0.36238 moveto
  7303. 0.02756 0.36238 lineto
  7304. stroke
  7305. grestore
  7306. gsave
  7307. 0.001 setlinewidth
  7308. 0.02381 0.41205 moveto
  7309. 0.02756 0.41205 lineto
  7310. stroke
  7311. grestore
  7312. gsave
  7313. 0.001 setlinewidth
  7314. 0.02381 0.43688 moveto
  7315. 0.02756 0.43688 lineto
  7316. stroke
  7317. grestore
  7318. gsave
  7319. 0.001 setlinewidth
  7320. 0.02381 0.46172 moveto
  7321. 0.02756 0.46172 lineto
  7322. stroke
  7323. grestore
  7324. gsave
  7325. 0.001 setlinewidth
  7326. 0.02381 0.48655 moveto
  7327. 0.02756 0.48655 lineto
  7328. stroke
  7329. grestore
  7330. gsave
  7331. 0.001 setlinewidth
  7332. 0.02381 0.53622 moveto
  7333. 0.02756 0.53622 lineto
  7334. stroke
  7335. grestore
  7336. gsave
  7337. 0.001 setlinewidth
  7338. 0.02381 0.56105 moveto
  7339. 0.02756 0.56105 lineto
  7340. stroke
  7341. grestore
  7342. gsave
  7343. 0.001 setlinewidth
  7344. 0.02381 0.58588 moveto
  7345. 0.02756 0.58588 lineto
  7346. stroke
  7347. grestore
  7348. gsave
  7349. 0.001 setlinewidth
  7350. 0.02381 0.61072 moveto
  7351. 0.02756 0.61072 lineto
  7352. stroke
  7353. grestore
  7354. gsave
  7355. 0.002 setlinewidth
  7356. 0.02381 0 moveto
  7357. 0.02381 0.61803 lineto
  7358. stroke
  7359. grestore
  7360. grestore
  7361. 0 0 moveto
  7362. 1 0 lineto
  7363. 1 0.61803 lineto
  7364. 0 0.61803 lineto
  7365. closepath
  7366. clip
  7367. newpath
  7368. gsave
  7369. gsave
  7370. gsave
  7371. 0.25 setgray
  7372. 0.02381 0.01472 moveto
  7373. 0.02381 0.32513 lineto
  7374. 0.05556 0.31446 lineto
  7375. 0.0873 0.28854 lineto
  7376. 0.11905 0.25476 lineto
  7377. 0.15079 0.2186 lineto
  7378. 0.18254 0.18392 lineto
  7379. 0.21429 0.15341 lineto
  7380. 0.24603 0.12875 lineto
  7381. 0.27778 0.11089 lineto
  7382. 0.30952 0.10023 lineto
  7383. 0.34127 0.09674 lineto
  7384. 0.37302 0.10008 lineto
  7385. 0.40476 0.10972 lineto
  7386. 0.43651 0.12497 lineto
  7387. 0.46825 0.14509 lineto
  7388. 0.5 0.16929 lineto
  7389. 0.53175 0.19678 lineto
  7390. 0.56349 0.2268 lineto
  7391. 0.59524 0.25863 lineto
  7392. 0.62698 0.29161 lineto
  7393. 0.65873 0.32513 lineto
  7394. 0.69048 0.35866 lineto
  7395. 0.72222 0.39172 lineto
  7396. 0.75397 0.42391 lineto
  7397. 0.78571 0.4549 lineto
  7398. 0.78571 0.01472 lineto
  7399. 0.02381 0.01472 lineto
  7400. fill
  7401. grestore
  7402. grestore
  7403. gsave
  7404. gsave
  7405. gsave
  7406. 0.015 setlinewidth
  7407. 0.02381 0.32513 moveto
  7408. 0.02505 0.32511 lineto
  7409. 0.02629 0.32506 lineto
  7410. 0.02753 0.32497 lineto
  7411. 0.02877 0.32484 lineto
  7412. 0.03125 0.32447 lineto
  7413. 0.03373 0.32398 lineto
  7414. 0.03869 0.32259 lineto
  7415. 0.04365 0.32072 lineto
  7416. 0.05357 0.31566 lineto
  7417. 0.06349 0.30908 lineto
  7418. 0.10317 0.27225 lineto
  7419. 0.14286 0.22763 lineto
  7420. 0.18254 0.18392 lineto
  7421. 0.22222 0.14665 lineto
  7422. 0.24206 0.13147 lineto
  7423. 0.2619 0.11893 lineto
  7424. 0.28175 0.10916 lineto
  7425. 0.29167 0.10534 lineto
  7426. 0.30159 0.10222 lineto
  7427. 0.31151 0.09981 lineto
  7428. 0.31647 0.09886 lineto
  7429. 0.32143 0.0981 lineto
  7430. 0.32639 0.0975 lineto
  7431. 0.32887 0.09727 lineto
  7432. 0.33135 0.09708 lineto
  7433. 0.33383 0.09693 lineto
  7434. 0.33507 0.09687 lineto
  7435. 0.33631 0.09682 lineto
  7436. 0.33755 0.09679 lineto
  7437. 0.33879 0.09676 lineto
  7438. 0.34003 0.09675 lineto
  7439. 0.34127 0.09674 lineto
  7440. 0.34251 0.09675 lineto
  7441. 0.34375 0.09676 lineto
  7442. 0.34499 0.09679 lineto
  7443. 0.34623 0.09682 lineto
  7444. 0.34871 0.09693 lineto
  7445. 0.35119 0.09707 lineto
  7446. 0.35367 0.09726 lineto
  7447. 0.35615 0.09748 lineto
  7448. 0.36111 0.09806 lineto
  7449. 0.37103 0.09968 lineto
  7450. 0.38095 0.10193 lineto
  7451. 0.40079 0.10819 lineto
  7452. 0.42063 0.11669 lineto
  7453. 0.46032 0.13965 lineto
  7454. 0.5 0.16929 lineto
  7455. 0.53968 0.20408 lineto
  7456. 0.57937 0.24253 lineto
  7457. Mistroke
  7458. 0.61905 0.28329 lineto
  7459. 0.65873 0.32513 lineto
  7460. 0.69841 0.36699 lineto
  7461. 0.7381 0.40795 lineto
  7462. 0.77778 0.44728 lineto
  7463. 0.81746 0.48439 lineto
  7464. 0.85714 0.51882 lineto
  7465. 0.89683 0.55024 lineto
  7466. 0.93651 0.57845 lineto
  7467. 0.97619 0.60332 lineto
  7468. Mfstroke
  7469. grestore
  7470. grestore
  7471. grestore
  7472. grestore
  7473. % End of Graphics
  7474. MathPictureEnd
  7475. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; ]
  7476. %!
  7477. %%Creator: Mathematica
  7478. %%AspectRatio: 0.61803 
  7479. MathPictureStart
  7480. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  7481. % Scaling calculations
  7482. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  7483. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  7484. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  7485. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  7486. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  7487. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  7488. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  7489. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  7490. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  7491. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  7492. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  7493. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  7494. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  7495. ] MathScale
  7496. % Start of Graphics
  7497. 1 setlinecap
  7498. 1 setlinejoin
  7499. newpath
  7500. %%Object: Graphics
  7501. [ ] 0 setdash
  7502. 0 setgray
  7503. gsave
  7504. gsave
  7505. 0.002 setlinewidth
  7506. 0.18254 0.01472 moveto
  7507. 0.18254 0.02097 lineto
  7508. stroke
  7509. grestore
  7510. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  7511. gsave
  7512. 0.002 setlinewidth
  7513. 0.34127 0.01472 moveto
  7514. 0.34127 0.02097 lineto
  7515. stroke
  7516. grestore
  7517. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  7518. gsave
  7519. 0.002 setlinewidth
  7520. 0.5 0.01472 moveto
  7521. 0.5 0.02097 lineto
  7522. stroke
  7523. grestore
  7524. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  7525. gsave
  7526. 0.002 setlinewidth
  7527. 0.65873 0.01472 moveto
  7528. 0.65873 0.02097 lineto
  7529. stroke
  7530. grestore
  7531. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  7532. gsave
  7533. 0.002 setlinewidth
  7534. 0.81746 0.01472 moveto
  7535. 0.81746 0.02097 lineto
  7536. stroke
  7537. grestore
  7538. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  7539. gsave
  7540. 0.002 setlinewidth
  7541. 0.97619 0.01472 moveto
  7542. 0.97619 0.02097 lineto
  7543. stroke
  7544. grestore
  7545. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  7546. gsave
  7547. 0.001 setlinewidth
  7548. 0.05556 0.01472 moveto
  7549. 0.05556 0.01847 lineto
  7550. stroke
  7551. grestore
  7552. gsave
  7553. 0.001 setlinewidth
  7554. 0.0873 0.01472 moveto
  7555. 0.0873 0.01847 lineto
  7556. stroke
  7557. grestore
  7558. gsave
  7559. 0.001 setlinewidth
  7560. 0.11905 0.01472 moveto
  7561. 0.11905 0.01847 lineto
  7562. stroke
  7563. grestore
  7564. gsave
  7565. 0.001 setlinewidth
  7566. 0.15079 0.01472 moveto
  7567. 0.15079 0.01847 lineto
  7568. stroke
  7569. grestore
  7570. gsave
  7571. 0.001 setlinewidth
  7572. 0.21429 0.01472 moveto
  7573. 0.21429 0.01847 lineto
  7574. stroke
  7575. grestore
  7576. gsave
  7577. 0.001 setlinewidth
  7578. 0.24603 0.01472 moveto
  7579. 0.24603 0.01847 lineto
  7580. stroke
  7581. grestore
  7582. gsave
  7583. 0.001 setlinewidth
  7584. 0.27778 0.01472 moveto
  7585. 0.27778 0.01847 lineto
  7586. stroke
  7587. grestore
  7588. gsave
  7589. 0.001 setlinewidth
  7590. 0.30952 0.01472 moveto
  7591. 0.30952 0.01847 lineto
  7592. stroke
  7593. grestore
  7594. gsave
  7595. 0.001 setlinewidth
  7596. 0.37302 0.01472 moveto
  7597. 0.37302 0.01847 lineto
  7598. stroke
  7599. grestore
  7600. gsave
  7601. 0.001 setlinewidth
  7602. 0.40476 0.01472 moveto
  7603. 0.40476 0.01847 lineto
  7604. stroke
  7605. grestore
  7606. gsave
  7607. 0.001 setlinewidth
  7608. 0.43651 0.01472 moveto
  7609. 0.43651 0.01847 lineto
  7610. stroke
  7611. grestore
  7612. gsave
  7613. 0.001 setlinewidth
  7614. 0.46825 0.01472 moveto
  7615. 0.46825 0.01847 lineto
  7616. stroke
  7617. grestore
  7618. gsave
  7619. 0.001 setlinewidth
  7620. 0.53175 0.01472 moveto
  7621. 0.53175 0.01847 lineto
  7622. stroke
  7623. grestore
  7624. gsave
  7625. 0.001 setlinewidth
  7626. 0.56349 0.01472 moveto
  7627. 0.56349 0.01847 lineto
  7628. stroke
  7629. grestore
  7630. gsave
  7631. 0.001 setlinewidth
  7632. 0.59524 0.01472 moveto
  7633. 0.59524 0.01847 lineto
  7634. stroke
  7635. grestore
  7636. gsave
  7637. 0.001 setlinewidth
  7638. 0.62698 0.01472 moveto
  7639. 0.62698 0.01847 lineto
  7640. stroke
  7641. grestore
  7642. gsave
  7643. 0.001 setlinewidth
  7644. 0.69048 0.01472 moveto
  7645. 0.69048 0.01847 lineto
  7646. stroke
  7647. grestore
  7648. gsave
  7649. 0.001 setlinewidth
  7650. 0.72222 0.01472 moveto
  7651. 0.72222 0.01847 lineto
  7652. stroke
  7653. grestore
  7654. gsave
  7655. 0.001 setlinewidth
  7656. 0.75397 0.01472 moveto
  7657. 0.75397 0.01847 lineto
  7658. stroke
  7659. grestore
  7660. gsave
  7661. 0.001 setlinewidth
  7662. 0.78571 0.01472 moveto
  7663. 0.78571 0.01847 lineto
  7664. stroke
  7665. grestore
  7666. gsave
  7667. 0.001 setlinewidth
  7668. 0.84921 0.01472 moveto
  7669. 0.84921 0.01847 lineto
  7670. stroke
  7671. grestore
  7672. gsave
  7673. 0.001 setlinewidth
  7674. 0.88095 0.01472 moveto
  7675. 0.88095 0.01847 lineto
  7676. stroke
  7677. grestore
  7678. gsave
  7679. 0.001 setlinewidth
  7680. 0.9127 0.01472 moveto
  7681. 0.9127 0.01847 lineto
  7682. stroke
  7683. grestore
  7684. gsave
  7685. 0.001 setlinewidth
  7686. 0.94444 0.01472 moveto
  7687. 0.94444 0.01847 lineto
  7688. stroke
  7689. grestore
  7690. gsave
  7691. 0.002 setlinewidth
  7692. 0 0.01472 moveto
  7693. 1 0.01472 lineto
  7694. stroke
  7695. grestore
  7696. gsave
  7697. 0.002 setlinewidth
  7698. 0.02381 0.13888 moveto
  7699. 0.03006 0.13888 lineto
  7700. stroke
  7701. grestore
  7702. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  7703. gsave
  7704. 0.002 setlinewidth
  7705. 0.02381 0.26305 moveto
  7706. 0.03006 0.26305 lineto
  7707. stroke
  7708. grestore
  7709. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  7710. gsave
  7711. 0.002 setlinewidth
  7712. 0.02381 0.38722 moveto
  7713. 0.03006 0.38722 lineto
  7714. stroke
  7715. grestore
  7716. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  7717. gsave
  7718. 0.002 setlinewidth
  7719. 0.02381 0.51138 moveto
  7720. 0.03006 0.51138 lineto
  7721. stroke
  7722. grestore
  7723. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  7724. gsave
  7725. 0.001 setlinewidth
  7726. 0.02381 0.03955 moveto
  7727. 0.02756 0.03955 lineto
  7728. stroke
  7729. grestore
  7730. gsave
  7731. 0.001 setlinewidth
  7732. 0.02381 0.06438 moveto
  7733. 0.02756 0.06438 lineto
  7734. stroke
  7735. grestore
  7736. gsave
  7737. 0.001 setlinewidth
  7738. 0.02381 0.08922 moveto
  7739. 0.02756 0.08922 lineto
  7740. stroke
  7741. grestore
  7742. gsave
  7743. 0.001 setlinewidth
  7744. 0.02381 0.11405 moveto
  7745. 0.02756 0.11405 lineto
  7746. stroke
  7747. grestore
  7748. gsave
  7749. 0.001 setlinewidth
  7750. 0.02381 0.16372 moveto
  7751. 0.02756 0.16372 lineto
  7752. stroke
  7753. grestore
  7754. gsave
  7755. 0.001 setlinewidth
  7756. 0.02381 0.18855 moveto
  7757. 0.02756 0.18855 lineto
  7758. stroke
  7759. grestore
  7760. gsave
  7761. 0.001 setlinewidth
  7762. 0.02381 0.21338 moveto
  7763. 0.02756 0.21338 lineto
  7764. stroke
  7765. grestore
  7766. gsave
  7767. 0.001 setlinewidth
  7768. 0.02381 0.23822 moveto
  7769. 0.02756 0.23822 lineto
  7770. stroke
  7771. grestore
  7772. gsave
  7773. 0.001 setlinewidth
  7774. 0.02381 0.28788 moveto
  7775. 0.02756 0.28788 lineto
  7776. stroke
  7777. grestore
  7778. gsave
  7779. 0.001 setlinewidth
  7780. 0.02381 0.31272 moveto
  7781. 0.02756 0.31272 lineto
  7782. stroke
  7783. grestore
  7784. gsave
  7785. 0.001 setlinewidth
  7786. 0.02381 0.33755 moveto
  7787. 0.02756 0.33755 lineto
  7788. stroke
  7789. grestore
  7790. gsave
  7791. 0.001 setlinewidth
  7792. 0.02381 0.36238 moveto
  7793. 0.02756 0.36238 lineto
  7794. stroke
  7795. grestore
  7796. gsave
  7797. 0.001 setlinewidth
  7798. 0.02381 0.41205 moveto
  7799. 0.02756 0.41205 lineto
  7800. stroke
  7801. grestore
  7802. gsave
  7803. 0.001 setlinewidth
  7804. 0.02381 0.43688 moveto
  7805. 0.02756 0.43688 lineto
  7806. stroke
  7807. grestore
  7808. gsave
  7809. 0.001 setlinewidth
  7810. 0.02381 0.46172 moveto
  7811. 0.02756 0.46172 lineto
  7812. stroke
  7813. grestore
  7814. gsave
  7815. 0.001 setlinewidth
  7816. 0.02381 0.48655 moveto
  7817. 0.02756 0.48655 lineto
  7818. stroke
  7819. grestore
  7820. gsave
  7821. 0.001 setlinewidth
  7822. 0.02381 0.53622 moveto
  7823. 0.02756 0.53622 lineto
  7824. stroke
  7825. grestore
  7826. gsave
  7827. 0.001 setlinewidth
  7828. 0.02381 0.56105 moveto
  7829. 0.02756 0.56105 lineto
  7830. stroke
  7831. grestore
  7832. gsave
  7833. 0.001 setlinewidth
  7834. 0.02381 0.58588 moveto
  7835. 0.02756 0.58588 lineto
  7836. stroke
  7837. grestore
  7838. gsave
  7839. 0.001 setlinewidth
  7840. 0.02381 0.61072 moveto
  7841. 0.02756 0.61072 lineto
  7842. stroke
  7843. grestore
  7844. gsave
  7845. 0.002 setlinewidth
  7846. 0.02381 0 moveto
  7847. 0.02381 0.61803 lineto
  7848. stroke
  7849. grestore
  7850. grestore
  7851. 0 0 moveto
  7852. 1 0 lineto
  7853. 1 0.61803 lineto
  7854. 0 0.61803 lineto
  7855. closepath
  7856. clip
  7857. newpath
  7858. gsave
  7859. gsave
  7860. gsave
  7861. 0.25 setgray
  7862. 0.02381 0.01472 moveto
  7863. 0.02381 0.32513 lineto
  7864. 0.05556 0.31446 lineto
  7865. 0.0873 0.28854 lineto
  7866. 0.11905 0.25476 lineto
  7867. 0.15079 0.2186 lineto
  7868. 0.18254 0.18392 lineto
  7869. 0.21429 0.15341 lineto
  7870. 0.24603 0.12875 lineto
  7871. 0.27778 0.11089 lineto
  7872. 0.30952 0.10023 lineto
  7873. 0.34127 0.09674 lineto
  7874. 0.37302 0.10008 lineto
  7875. 0.40476 0.10972 lineto
  7876. 0.43651 0.12497 lineto
  7877. 0.46825 0.14509 lineto
  7878. 0.5 0.16929 lineto
  7879. 0.53175 0.19678 lineto
  7880. 0.56349 0.2268 lineto
  7881. 0.59524 0.25863 lineto
  7882. 0.62698 0.29161 lineto
  7883. 0.65873 0.32513 lineto
  7884. 0.69048 0.35866 lineto
  7885. 0.72222 0.39172 lineto
  7886. 0.75397 0.42391 lineto
  7887. 0.78571 0.4549 lineto
  7888. 0.81746 0.48439 lineto
  7889. 0.84921 0.51216 lineto
  7890. 0.84921 0.01472 lineto
  7891. 0.02381 0.01472 lineto
  7892. fill
  7893. grestore
  7894. grestore
  7895. gsave
  7896. gsave
  7897. gsave
  7898. 0.015 setlinewidth
  7899. 0.02381 0.32513 moveto
  7900. 0.02505 0.32511 lineto
  7901. 0.02629 0.32506 lineto
  7902. 0.02753 0.32497 lineto
  7903. 0.02877 0.32484 lineto
  7904. 0.03125 0.32447 lineto
  7905. 0.03373 0.32398 lineto
  7906. 0.03869 0.32259 lineto
  7907. 0.04365 0.32072 lineto
  7908. 0.05357 0.31566 lineto
  7909. 0.06349 0.30908 lineto
  7910. 0.10317 0.27225 lineto
  7911. 0.14286 0.22763 lineto
  7912. 0.18254 0.18392 lineto
  7913. 0.22222 0.14665 lineto
  7914. 0.24206 0.13147 lineto
  7915. 0.2619 0.11893 lineto
  7916. 0.28175 0.10916 lineto
  7917. 0.29167 0.10534 lineto
  7918. 0.30159 0.10222 lineto
  7919. 0.31151 0.09981 lineto
  7920. 0.31647 0.09886 lineto
  7921. 0.32143 0.0981 lineto
  7922. 0.32639 0.0975 lineto
  7923. 0.32887 0.09727 lineto
  7924. 0.33135 0.09708 lineto
  7925. 0.33383 0.09693 lineto
  7926. 0.33507 0.09687 lineto
  7927. 0.33631 0.09682 lineto
  7928. 0.33755 0.09679 lineto
  7929. 0.33879 0.09676 lineto
  7930. 0.34003 0.09675 lineto
  7931. 0.34127 0.09674 lineto
  7932. 0.34251 0.09675 lineto
  7933. 0.34375 0.09676 lineto
  7934. 0.34499 0.09679 lineto
  7935. 0.34623 0.09682 lineto
  7936. 0.34871 0.09693 lineto
  7937. 0.35119 0.09707 lineto
  7938. 0.35367 0.09726 lineto
  7939. 0.35615 0.09748 lineto
  7940. 0.36111 0.09806 lineto
  7941. 0.37103 0.09968 lineto
  7942. 0.38095 0.10193 lineto
  7943. 0.40079 0.10819 lineto
  7944. 0.42063 0.11669 lineto
  7945. 0.46032 0.13965 lineto
  7946. 0.5 0.16929 lineto
  7947. 0.53968 0.20408 lineto
  7948. 0.57937 0.24253 lineto
  7949. Mistroke
  7950. 0.61905 0.28329 lineto
  7951. 0.65873 0.32513 lineto
  7952. 0.69841 0.36699 lineto
  7953. 0.7381 0.40795 lineto
  7954. 0.77778 0.44728 lineto
  7955. 0.81746 0.48439 lineto
  7956. 0.85714 0.51882 lineto
  7957. 0.89683 0.55024 lineto
  7958. 0.93651 0.57845 lineto
  7959. 0.97619 0.60332 lineto
  7960. Mfstroke
  7961. grestore
  7962. grestore
  7963. grestore
  7964. grestore
  7965. % End of Graphics
  7966. MathPictureEnd
  7967. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; ]
  7968. %!
  7969. %%Creator: Mathematica
  7970. %%AspectRatio: 0.61803 
  7971. MathPictureStart
  7972. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  7973. % Scaling calculations
  7974. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  7975. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  7976. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  7977. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  7978. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  7979. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  7980. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  7981. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  7982. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  7983. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  7984. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  7985. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  7986. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  7987. ] MathScale
  7988. % Start of Graphics
  7989. 1 setlinecap
  7990. 1 setlinejoin
  7991. newpath
  7992. %%Object: Graphics
  7993. [ ] 0 setdash
  7994. 0 setgray
  7995. gsave
  7996. gsave
  7997. 0.002 setlinewidth
  7998. 0.18254 0.01472 moveto
  7999. 0.18254 0.02097 lineto
  8000. stroke
  8001. grestore
  8002. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  8003. gsave
  8004. 0.002 setlinewidth
  8005. 0.34127 0.01472 moveto
  8006. 0.34127 0.02097 lineto
  8007. stroke
  8008. grestore
  8009. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  8010. gsave
  8011. 0.002 setlinewidth
  8012. 0.5 0.01472 moveto
  8013. 0.5 0.02097 lineto
  8014. stroke
  8015. grestore
  8016. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  8017. gsave
  8018. 0.002 setlinewidth
  8019. 0.65873 0.01472 moveto
  8020. 0.65873 0.02097 lineto
  8021. stroke
  8022. grestore
  8023. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  8024. gsave
  8025. 0.002 setlinewidth
  8026. 0.81746 0.01472 moveto
  8027. 0.81746 0.02097 lineto
  8028. stroke
  8029. grestore
  8030. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  8031. gsave
  8032. 0.002 setlinewidth
  8033. 0.97619 0.01472 moveto
  8034. 0.97619 0.02097 lineto
  8035. stroke
  8036. grestore
  8037. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  8038. gsave
  8039. 0.001 setlinewidth
  8040. 0.05556 0.01472 moveto
  8041. 0.05556 0.01847 lineto
  8042. stroke
  8043. grestore
  8044. gsave
  8045. 0.001 setlinewidth
  8046. 0.0873 0.01472 moveto
  8047. 0.0873 0.01847 lineto
  8048. stroke
  8049. grestore
  8050. gsave
  8051. 0.001 setlinewidth
  8052. 0.11905 0.01472 moveto
  8053. 0.11905 0.01847 lineto
  8054. stroke
  8055. grestore
  8056. gsave
  8057. 0.001 setlinewidth
  8058. 0.15079 0.01472 moveto
  8059. 0.15079 0.01847 lineto
  8060. stroke
  8061. grestore
  8062. gsave
  8063. 0.001 setlinewidth
  8064. 0.21429 0.01472 moveto
  8065. 0.21429 0.01847 lineto
  8066. stroke
  8067. grestore
  8068. gsave
  8069. 0.001 setlinewidth
  8070. 0.24603 0.01472 moveto
  8071. 0.24603 0.01847 lineto
  8072. stroke
  8073. grestore
  8074. gsave
  8075. 0.001 setlinewidth
  8076. 0.27778 0.01472 moveto
  8077. 0.27778 0.01847 lineto
  8078. stroke
  8079. grestore
  8080. gsave
  8081. 0.001 setlinewidth
  8082. 0.30952 0.01472 moveto
  8083. 0.30952 0.01847 lineto
  8084. stroke
  8085. grestore
  8086. gsave
  8087. 0.001 setlinewidth
  8088. 0.37302 0.01472 moveto
  8089. 0.37302 0.01847 lineto
  8090. stroke
  8091. grestore
  8092. gsave
  8093. 0.001 setlinewidth
  8094. 0.40476 0.01472 moveto
  8095. 0.40476 0.01847 lineto
  8096. stroke
  8097. grestore
  8098. gsave
  8099. 0.001 setlinewidth
  8100. 0.43651 0.01472 moveto
  8101. 0.43651 0.01847 lineto
  8102. stroke
  8103. grestore
  8104. gsave
  8105. 0.001 setlinewidth
  8106. 0.46825 0.01472 moveto
  8107. 0.46825 0.01847 lineto
  8108. stroke
  8109. grestore
  8110. gsave
  8111. 0.001 setlinewidth
  8112. 0.53175 0.01472 moveto
  8113. 0.53175 0.01847 lineto
  8114. stroke
  8115. grestore
  8116. gsave
  8117. 0.001 setlinewidth
  8118. 0.56349 0.01472 moveto
  8119. 0.56349 0.01847 lineto
  8120. stroke
  8121. grestore
  8122. gsave
  8123. 0.001 setlinewidth
  8124. 0.59524 0.01472 moveto
  8125. 0.59524 0.01847 lineto
  8126. stroke
  8127. grestore
  8128. gsave
  8129. 0.001 setlinewidth
  8130. 0.62698 0.01472 moveto
  8131. 0.62698 0.01847 lineto
  8132. stroke
  8133. grestore
  8134. gsave
  8135. 0.001 setlinewidth
  8136. 0.69048 0.01472 moveto
  8137. 0.69048 0.01847 lineto
  8138. stroke
  8139. grestore
  8140. gsave
  8141. 0.001 setlinewidth
  8142. 0.72222 0.01472 moveto
  8143. 0.72222 0.01847 lineto
  8144. stroke
  8145. grestore
  8146. gsave
  8147. 0.001 setlinewidth
  8148. 0.75397 0.01472 moveto
  8149. 0.75397 0.01847 lineto
  8150. stroke
  8151. grestore
  8152. gsave
  8153. 0.001 setlinewidth
  8154. 0.78571 0.01472 moveto
  8155. 0.78571 0.01847 lineto
  8156. stroke
  8157. grestore
  8158. gsave
  8159. 0.001 setlinewidth
  8160. 0.84921 0.01472 moveto
  8161. 0.84921 0.01847 lineto
  8162. stroke
  8163. grestore
  8164. gsave
  8165. 0.001 setlinewidth
  8166. 0.88095 0.01472 moveto
  8167. 0.88095 0.01847 lineto
  8168. stroke
  8169. grestore
  8170. gsave
  8171. 0.001 setlinewidth
  8172. 0.9127 0.01472 moveto
  8173. 0.9127 0.01847 lineto
  8174. stroke
  8175. grestore
  8176. gsave
  8177. 0.001 setlinewidth
  8178. 0.94444 0.01472 moveto
  8179. 0.94444 0.01847 lineto
  8180. stroke
  8181. grestore
  8182. gsave
  8183. 0.002 setlinewidth
  8184. 0 0.01472 moveto
  8185. 1 0.01472 lineto
  8186. stroke
  8187. grestore
  8188. gsave
  8189. 0.002 setlinewidth
  8190. 0.02381 0.13888 moveto
  8191. 0.03006 0.13888 lineto
  8192. stroke
  8193. grestore
  8194. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  8195. gsave
  8196. 0.002 setlinewidth
  8197. 0.02381 0.26305 moveto
  8198. 0.03006 0.26305 lineto
  8199. stroke
  8200. grestore
  8201. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  8202. gsave
  8203. 0.002 setlinewidth
  8204. 0.02381 0.38722 moveto
  8205. 0.03006 0.38722 lineto
  8206. stroke
  8207. grestore
  8208. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  8209. gsave
  8210. 0.002 setlinewidth
  8211. 0.02381 0.51138 moveto
  8212. 0.03006 0.51138 lineto
  8213. stroke
  8214. grestore
  8215. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  8216. gsave
  8217. 0.001 setlinewidth
  8218. 0.02381 0.03955 moveto
  8219. 0.02756 0.03955 lineto
  8220. stroke
  8221. grestore
  8222. gsave
  8223. 0.001 setlinewidth
  8224. 0.02381 0.06438 moveto
  8225. 0.02756 0.06438 lineto
  8226. stroke
  8227. grestore
  8228. gsave
  8229. 0.001 setlinewidth
  8230. 0.02381 0.08922 moveto
  8231. 0.02756 0.08922 lineto
  8232. stroke
  8233. grestore
  8234. gsave
  8235. 0.001 setlinewidth
  8236. 0.02381 0.11405 moveto
  8237. 0.02756 0.11405 lineto
  8238. stroke
  8239. grestore
  8240. gsave
  8241. 0.001 setlinewidth
  8242. 0.02381 0.16372 moveto
  8243. 0.02756 0.16372 lineto
  8244. stroke
  8245. grestore
  8246. gsave
  8247. 0.001 setlinewidth
  8248. 0.02381 0.18855 moveto
  8249. 0.02756 0.18855 lineto
  8250. stroke
  8251. grestore
  8252. gsave
  8253. 0.001 setlinewidth
  8254. 0.02381 0.21338 moveto
  8255. 0.02756 0.21338 lineto
  8256. stroke
  8257. grestore
  8258. gsave
  8259. 0.001 setlinewidth
  8260. 0.02381 0.23822 moveto
  8261. 0.02756 0.23822 lineto
  8262. stroke
  8263. grestore
  8264. gsave
  8265. 0.001 setlinewidth
  8266. 0.02381 0.28788 moveto
  8267. 0.02756 0.28788 lineto
  8268. stroke
  8269. grestore
  8270. gsave
  8271. 0.001 setlinewidth
  8272. 0.02381 0.31272 moveto
  8273. 0.02756 0.31272 lineto
  8274. stroke
  8275. grestore
  8276. gsave
  8277. 0.001 setlinewidth
  8278. 0.02381 0.33755 moveto
  8279. 0.02756 0.33755 lineto
  8280. stroke
  8281. grestore
  8282. gsave
  8283. 0.001 setlinewidth
  8284. 0.02381 0.36238 moveto
  8285. 0.02756 0.36238 lineto
  8286. stroke
  8287. grestore
  8288. gsave
  8289. 0.001 setlinewidth
  8290. 0.02381 0.41205 moveto
  8291. 0.02756 0.41205 lineto
  8292. stroke
  8293. grestore
  8294. gsave
  8295. 0.001 setlinewidth
  8296. 0.02381 0.43688 moveto
  8297. 0.02756 0.43688 lineto
  8298. stroke
  8299. grestore
  8300. gsave
  8301. 0.001 setlinewidth
  8302. 0.02381 0.46172 moveto
  8303. 0.02756 0.46172 lineto
  8304. stroke
  8305. grestore
  8306. gsave
  8307. 0.001 setlinewidth
  8308. 0.02381 0.48655 moveto
  8309. 0.02756 0.48655 lineto
  8310. stroke
  8311. grestore
  8312. gsave
  8313. 0.001 setlinewidth
  8314. 0.02381 0.53622 moveto
  8315. 0.02756 0.53622 lineto
  8316. stroke
  8317. grestore
  8318. gsave
  8319. 0.001 setlinewidth
  8320. 0.02381 0.56105 moveto
  8321. 0.02756 0.56105 lineto
  8322. stroke
  8323. grestore
  8324. gsave
  8325. 0.001 setlinewidth
  8326. 0.02381 0.58588 moveto
  8327. 0.02756 0.58588 lineto
  8328. stroke
  8329. grestore
  8330. gsave
  8331. 0.001 setlinewidth
  8332. 0.02381 0.61072 moveto
  8333. 0.02756 0.61072 lineto
  8334. stroke
  8335. grestore
  8336. gsave
  8337. 0.002 setlinewidth
  8338. 0.02381 0 moveto
  8339. 0.02381 0.61803 lineto
  8340. stroke
  8341. grestore
  8342. grestore
  8343. 0 0 moveto
  8344. 1 0 lineto
  8345. 1 0.61803 lineto
  8346. 0 0.61803 lineto
  8347. closepath
  8348. clip
  8349. newpath
  8350. gsave
  8351. gsave
  8352. gsave
  8353. 0.25 setgray
  8354. 0.02381 0.01472 moveto
  8355. 0.02381 0.32513 lineto
  8356. 0.05556 0.31446 lineto
  8357. 0.0873 0.28854 lineto
  8358. 0.11905 0.25476 lineto
  8359. 0.15079 0.2186 lineto
  8360. 0.18254 0.18392 lineto
  8361. 0.21429 0.15341 lineto
  8362. 0.24603 0.12875 lineto
  8363. 0.27778 0.11089 lineto
  8364. 0.30952 0.10023 lineto
  8365. 0.34127 0.09674 lineto
  8366. 0.37302 0.10008 lineto
  8367. 0.40476 0.10972 lineto
  8368. 0.43651 0.12497 lineto
  8369. 0.46825 0.14509 lineto
  8370. 0.5 0.16929 lineto
  8371. 0.53175 0.19678 lineto
  8372. 0.56349 0.2268 lineto
  8373. 0.59524 0.25863 lineto
  8374. 0.62698 0.29161 lineto
  8375. 0.65873 0.32513 lineto
  8376. 0.69048 0.35866 lineto
  8377. 0.72222 0.39172 lineto
  8378. 0.75397 0.42391 lineto
  8379. 0.78571 0.4549 lineto
  8380. 0.81746 0.48439 lineto
  8381. 0.84921 0.51216 lineto
  8382. 0.88095 0.53805 lineto
  8383. 0.9127 0.56192 lineto
  8384. 0.9127 0.01472 lineto
  8385. 0.02381 0.01472 lineto
  8386. fill
  8387. grestore
  8388. grestore
  8389. gsave
  8390. gsave
  8391. gsave
  8392. 0.015 setlinewidth
  8393. 0.02381 0.32513 moveto
  8394. 0.02505 0.32511 lineto
  8395. 0.02629 0.32506 lineto
  8396. 0.02753 0.32497 lineto
  8397. 0.02877 0.32484 lineto
  8398. 0.03125 0.32447 lineto
  8399. 0.03373 0.32398 lineto
  8400. 0.03869 0.32259 lineto
  8401. 0.04365 0.32072 lineto
  8402. 0.05357 0.31566 lineto
  8403. 0.06349 0.30908 lineto
  8404. 0.10317 0.27225 lineto
  8405. 0.14286 0.22763 lineto
  8406. 0.18254 0.18392 lineto
  8407. 0.22222 0.14665 lineto
  8408. 0.24206 0.13147 lineto
  8409. 0.2619 0.11893 lineto
  8410. 0.28175 0.10916 lineto
  8411. 0.29167 0.10534 lineto
  8412. 0.30159 0.10222 lineto
  8413. 0.31151 0.09981 lineto
  8414. 0.31647 0.09886 lineto
  8415. 0.32143 0.0981 lineto
  8416. 0.32639 0.0975 lineto
  8417. 0.32887 0.09727 lineto
  8418. 0.33135 0.09708 lineto
  8419. 0.33383 0.09693 lineto
  8420. 0.33507 0.09687 lineto
  8421. 0.33631 0.09682 lineto
  8422. 0.33755 0.09679 lineto
  8423. 0.33879 0.09676 lineto
  8424. 0.34003 0.09675 lineto
  8425. 0.34127 0.09674 lineto
  8426. 0.34251 0.09675 lineto
  8427. 0.34375 0.09676 lineto
  8428. 0.34499 0.09679 lineto
  8429. 0.34623 0.09682 lineto
  8430. 0.34871 0.09693 lineto
  8431. 0.35119 0.09707 lineto
  8432. 0.35367 0.09726 lineto
  8433. 0.35615 0.09748 lineto
  8434. 0.36111 0.09806 lineto
  8435. 0.37103 0.09968 lineto
  8436. 0.38095 0.10193 lineto
  8437. 0.40079 0.10819 lineto
  8438. 0.42063 0.11669 lineto
  8439. 0.46032 0.13965 lineto
  8440. 0.5 0.16929 lineto
  8441. 0.53968 0.20408 lineto
  8442. 0.57937 0.24253 lineto
  8443. Mistroke
  8444. 0.61905 0.28329 lineto
  8445. 0.65873 0.32513 lineto
  8446. 0.69841 0.36699 lineto
  8447. 0.7381 0.40795 lineto
  8448. 0.77778 0.44728 lineto
  8449. 0.81746 0.48439 lineto
  8450. 0.85714 0.51882 lineto
  8451. 0.89683 0.55024 lineto
  8452. 0.93651 0.57845 lineto
  8453. 0.97619 0.60332 lineto
  8454. Mfstroke
  8455. grestore
  8456. grestore
  8457. grestore
  8458. grestore
  8459. % End of Graphics
  8460. MathPictureEnd
  8461. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 34; pictureWidth = 248; pictureHeight = 153; endGroup; ]
  8462. %!
  8463. %%Creator: Mathematica
  8464. %%AspectRatio: 0.61803 
  8465. MathPictureStart
  8466. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  8467. % Scaling calculations
  8468. 0.02381 0.31746 0.014715 0.620835 [
  8469. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  8470. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Msboxa
  8471. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  8472. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  8473. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  8474. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  8475. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Msboxa
  8476. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Msboxa
  8477. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Msboxa
  8478. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Msboxa
  8479. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  8480. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  8481. ] MathScale
  8482. % Start of Graphics
  8483. 1 setlinecap
  8484. 1 setlinejoin
  8485. newpath
  8486. %%Object: Graphics
  8487. [ ] 0 setdash
  8488. 0 setgray
  8489. gsave
  8490. gsave
  8491. 0.002 setlinewidth
  8492. 0.18254 0.01472 moveto
  8493. 0.18254 0.02097 lineto
  8494. stroke
  8495. grestore
  8496. [(0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  8497. gsave
  8498. 0.002 setlinewidth
  8499. 0.34127 0.01472 moveto
  8500. 0.34127 0.02097 lineto
  8501. stroke
  8502. grestore
  8503. [(1)] 0.34127 0.01472 0 2 Mshowa
  8504. gsave
  8505. 0.002 setlinewidth
  8506. 0.5 0.01472 moveto
  8507. 0.5 0.02097 lineto
  8508. stroke
  8509. grestore
  8510. [(1.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  8511. gsave
  8512. 0.002 setlinewidth
  8513. 0.65873 0.01472 moveto
  8514. 0.65873 0.02097 lineto
  8515. stroke
  8516. grestore
  8517. [(2)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  8518. gsave
  8519. 0.002 setlinewidth
  8520. 0.81746 0.01472 moveto
  8521. 0.81746 0.02097 lineto
  8522. stroke
  8523. grestore
  8524. [(2.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  8525. gsave
  8526. 0.002 setlinewidth
  8527. 0.97619 0.01472 moveto
  8528. 0.97619 0.02097 lineto
  8529. stroke
  8530. grestore
  8531. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  8532. gsave
  8533. 0.001 setlinewidth
  8534. 0.05556 0.01472 moveto
  8535. 0.05556 0.01847 lineto
  8536. stroke
  8537. grestore
  8538. gsave
  8539. 0.001 setlinewidth
  8540. 0.0873 0.01472 moveto
  8541. 0.0873 0.01847 lineto
  8542. stroke
  8543. grestore
  8544. gsave
  8545. 0.001 setlinewidth
  8546. 0.11905 0.01472 moveto
  8547. 0.11905 0.01847 lineto
  8548. stroke
  8549. grestore
  8550. gsave
  8551. 0.001 setlinewidth
  8552. 0.15079 0.01472 moveto
  8553. 0.15079 0.01847 lineto
  8554. stroke
  8555. grestore
  8556. gsave
  8557. 0.001 setlinewidth
  8558. 0.21429 0.01472 moveto
  8559. 0.21429 0.01847 lineto
  8560. stroke
  8561. grestore
  8562. gsave
  8563. 0.001 setlinewidth
  8564. 0.24603 0.01472 moveto
  8565. 0.24603 0.01847 lineto
  8566. stroke
  8567. grestore
  8568. gsave
  8569. 0.001 setlinewidth
  8570. 0.27778 0.01472 moveto
  8571. 0.27778 0.01847 lineto
  8572. stroke
  8573. grestore
  8574. gsave
  8575. 0.001 setlinewidth
  8576. 0.30952 0.01472 moveto
  8577. 0.30952 0.01847 lineto
  8578. stroke
  8579. grestore
  8580. gsave
  8581. 0.001 setlinewidth
  8582. 0.37302 0.01472 moveto
  8583. 0.37302 0.01847 lineto
  8584. stroke
  8585. grestore
  8586. gsave
  8587. 0.001 setlinewidth
  8588. 0.40476 0.01472 moveto
  8589. 0.40476 0.01847 lineto
  8590. stroke
  8591. grestore
  8592. gsave
  8593. 0.001 setlinewidth
  8594. 0.43651 0.01472 moveto
  8595. 0.43651 0.01847 lineto
  8596. stroke
  8597. grestore
  8598. gsave
  8599. 0.001 setlinewidth
  8600. 0.46825 0.01472 moveto
  8601. 0.46825 0.01847 lineto
  8602. stroke
  8603. grestore
  8604. gsave
  8605. 0.001 setlinewidth
  8606. 0.53175 0.01472 moveto
  8607. 0.53175 0.01847 lineto
  8608. stroke
  8609. grestore
  8610. gsave
  8611. 0.001 setlinewidth
  8612. 0.56349 0.01472 moveto
  8613. 0.56349 0.01847 lineto
  8614. stroke
  8615. grestore
  8616. gsave
  8617. 0.001 setlinewidth
  8618. 0.59524 0.01472 moveto
  8619. 0.59524 0.01847 lineto
  8620. stroke
  8621. grestore
  8622. gsave
  8623. 0.001 setlinewidth
  8624. 0.62698 0.01472 moveto
  8625. 0.62698 0.01847 lineto
  8626. stroke
  8627. grestore
  8628. gsave
  8629. 0.001 setlinewidth
  8630. 0.69048 0.01472 moveto
  8631. 0.69048 0.01847 lineto
  8632. stroke
  8633. grestore
  8634. gsave
  8635. 0.001 setlinewidth
  8636. 0.72222 0.01472 moveto
  8637. 0.72222 0.01847 lineto
  8638. stroke
  8639. grestore
  8640. gsave
  8641. 0.001 setlinewidth
  8642. 0.75397 0.01472 moveto
  8643. 0.75397 0.01847 lineto
  8644. stroke
  8645. grestore
  8646. gsave
  8647. 0.001 setlinewidth
  8648. 0.78571 0.01472 moveto
  8649. 0.78571 0.01847 lineto
  8650. stroke
  8651. grestore
  8652. gsave
  8653. 0.001 setlinewidth
  8654. 0.84921 0.01472 moveto
  8655. 0.84921 0.01847 lineto
  8656. stroke
  8657. grestore
  8658. gsave
  8659. 0.001 setlinewidth
  8660. 0.88095 0.01472 moveto
  8661. 0.88095 0.01847 lineto
  8662. stroke
  8663. grestore
  8664. gsave
  8665. 0.001 setlinewidth
  8666. 0.9127 0.01472 moveto
  8667. 0.9127 0.01847 lineto
  8668. stroke
  8669. grestore
  8670. gsave
  8671. 0.001 setlinewidth
  8672. 0.94444 0.01472 moveto
  8673. 0.94444 0.01847 lineto
  8674. stroke
  8675. grestore
  8676. gsave
  8677. 0.002 setlinewidth
  8678. 0 0.01472 moveto
  8679. 1 0.01472 lineto
  8680. stroke
  8681. grestore
  8682. gsave
  8683. 0.002 setlinewidth
  8684. 0.02381 0.13888 moveto
  8685. 0.03006 0.13888 lineto
  8686. stroke
  8687. grestore
  8688. [(0.2)] 0.01131 0.13888 1 0 Mshowa
  8689. gsave
  8690. 0.002 setlinewidth
  8691. 0.02381 0.26305 moveto
  8692. 0.03006 0.26305 lineto
  8693. stroke
  8694. grestore
  8695. [(0.4)] 0.01131 0.26305 1 0 Mshowa
  8696. gsave
  8697. 0.002 setlinewidth
  8698. 0.02381 0.38722 moveto
  8699. 0.03006 0.38722 lineto
  8700. stroke
  8701. grestore
  8702. [(0.6)] 0.01131 0.38722 1 0 Mshowa
  8703. gsave
  8704. 0.002 setlinewidth
  8705. 0.02381 0.51138 moveto
  8706. 0.03006 0.51138 lineto
  8707. stroke
  8708. grestore
  8709. [(0.8)] 0.01131 0.51138 1 0 Mshowa
  8710. gsave
  8711. 0.001 setlinewidth
  8712. 0.02381 0.03955 moveto
  8713. 0.02756 0.03955 lineto
  8714. stroke
  8715. grestore
  8716. gsave
  8717. 0.001 setlinewidth
  8718. 0.02381 0.06438 moveto
  8719. 0.02756 0.06438 lineto
  8720. stroke
  8721. grestore
  8722. gsave
  8723. 0.001 setlinewidth
  8724. 0.02381 0.08922 moveto
  8725. 0.02756 0.08922 lineto
  8726. stroke
  8727. grestore
  8728. gsave
  8729. 0.001 setlinewidth
  8730. 0.02381 0.11405 moveto
  8731. 0.02756 0.11405 lineto
  8732. stroke
  8733. grestore
  8734. gsave
  8735. 0.001 setlinewidth
  8736. 0.02381 0.16372 moveto
  8737. 0.02756 0.16372 lineto
  8738. stroke
  8739. grestore
  8740. gsave
  8741. 0.001 setlinewidth
  8742. 0.02381 0.18855 moveto
  8743. 0.02756 0.18855 lineto
  8744. stroke
  8745. grestore
  8746. gsave
  8747. 0.001 setlinewidth
  8748. 0.02381 0.21338 moveto
  8749. 0.02756 0.21338 lineto
  8750. stroke
  8751. grestore
  8752. gsave
  8753. 0.001 setlinewidth
  8754. 0.02381 0.23822 moveto
  8755. 0.02756 0.23822 lineto
  8756. stroke
  8757. grestore
  8758. gsave
  8759. 0.001 setlinewidth
  8760. 0.02381 0.28788 moveto
  8761. 0.02756 0.28788 lineto
  8762. stroke
  8763. grestore
  8764. gsave
  8765. 0.001 setlinewidth
  8766. 0.02381 0.31272 moveto
  8767. 0.02756 0.31272 lineto
  8768. stroke
  8769. grestore
  8770. gsave
  8771. 0.001 setlinewidth
  8772. 0.02381 0.33755 moveto
  8773. 0.02756 0.33755 lineto
  8774. stroke
  8775. grestore
  8776. gsave
  8777. 0.001 setlinewidth
  8778. 0.02381 0.36238 moveto
  8779. 0.02756 0.36238 lineto
  8780. stroke
  8781. grestore
  8782. gsave
  8783. 0.001 setlinewidth
  8784. 0.02381 0.41205 moveto
  8785. 0.02756 0.41205 lineto
  8786. stroke
  8787. grestore
  8788. gsave
  8789. 0.001 setlinewidth
  8790. 0.02381 0.43688 moveto
  8791. 0.02756 0.43688 lineto
  8792. stroke
  8793. grestore
  8794. gsave
  8795. 0.001 setlinewidth
  8796. 0.02381 0.46172 moveto
  8797. 0.02756 0.46172 lineto
  8798. stroke
  8799. grestore
  8800. gsave
  8801. 0.001 setlinewidth
  8802. 0.02381 0.48655 moveto
  8803. 0.02756 0.48655 lineto
  8804. stroke
  8805. grestore
  8806. gsave
  8807. 0.001 setlinewidth
  8808. 0.02381 0.53622 moveto
  8809. 0.02756 0.53622 lineto
  8810. stroke
  8811. grestore
  8812. gsave
  8813. 0.001 setlinewidth
  8814. 0.02381 0.56105 moveto
  8815. 0.02756 0.56105 lineto
  8816. stroke
  8817. grestore
  8818. gsave
  8819. 0.001 setlinewidth
  8820. 0.02381 0.58588 moveto
  8821. 0.02756 0.58588 lineto
  8822. stroke
  8823. grestore
  8824. gsave
  8825. 0.001 setlinewidth
  8826. 0.02381 0.61072 moveto
  8827. 0.02756 0.61072 lineto
  8828. stroke
  8829. grestore
  8830. gsave
  8831. 0.002 setlinewidth
  8832. 0.02381 0 moveto
  8833. 0.02381 0.61803 lineto
  8834. stroke
  8835. grestore
  8836. grestore
  8837. 0 0 moveto
  8838. 1 0 lineto
  8839. 1 0.61803 lineto
  8840. 0 0.61803 lineto
  8841. closepath
  8842. clip
  8843. newpath
  8844. gsave
  8845. gsave
  8846. gsave
  8847. 0.25 setgray
  8848. 0.02381 0.01472 moveto
  8849. 0.02381 0.32513 lineto
  8850. 0.05556 0.31446 lineto
  8851. 0.0873 0.28854 lineto
  8852. 0.11905 0.25476 lineto
  8853. 0.15079 0.2186 lineto
  8854. 0.18254 0.18392 lineto
  8855. 0.21429 0.15341 lineto
  8856. 0.24603 0.12875 lineto
  8857. 0.27778 0.11089 lineto
  8858. 0.30952 0.10023 lineto
  8859. 0.34127 0.09674 lineto
  8860. 0.37302 0.10008 lineto
  8861. 0.40476 0.10972 lineto
  8862. 0.43651 0.12497 lineto
  8863. 0.46825 0.14509 lineto
  8864. 0.5 0.16929 lineto
  8865. 0.53175 0.19678 lineto
  8866. 0.56349 0.2268 lineto
  8867. 0.59524 0.25863 lineto
  8868. 0.62698 0.29161 lineto
  8869. 0.65873 0.32513 lineto
  8870. 0.69048 0.35866 lineto
  8871. 0.72222 0.39172 lineto
  8872. 0.75397 0.42391 lineto
  8873. 0.78571 0.4549 lineto
  8874. 0.81746 0.48439 lineto
  8875. 0.84921 0.51216 lineto
  8876. 0.88095 0.53805 lineto
  8877. 0.9127 0.56192 lineto
  8878. 0.94444 0.58369 lineto
  8879. 0.97619 0.60332 lineto
  8880. 0.97619 0.01472 lineto
  8881. 0.02381 0.01472 lineto
  8882. fill
  8883. grestore
  8884. grestore
  8885. gsave
  8886. gsave
  8887. gsave
  8888. 0.015 setlinewidth
  8889. 0.02381 0.32513 moveto
  8890. 0.02505 0.32511 lineto
  8891. 0.02629 0.32506 lineto
  8892. 0.02753 0.32497 lineto
  8893. 0.02877 0.32484 lineto
  8894. 0.03125 0.32447 lineto
  8895. 0.03373 0.32398 lineto
  8896. 0.03869 0.32259 lineto
  8897. 0.04365 0.32072 lineto
  8898. 0.05357 0.31566 lineto
  8899. 0.06349 0.30908 lineto
  8900. 0.10317 0.27225 lineto
  8901. 0.14286 0.22763 lineto
  8902. 0.18254 0.18392 lineto
  8903. 0.22222 0.14665 lineto
  8904. 0.24206 0.13147 lineto
  8905. 0.2619 0.11893 lineto
  8906. 0.28175 0.10916 lineto
  8907. 0.29167 0.10534 lineto
  8908. 0.30159 0.10222 lineto
  8909. 0.31151 0.09981 lineto
  8910. 0.31647 0.09886 lineto
  8911. 0.32143 0.0981 lineto
  8912. 0.32639 0.0975 lineto
  8913. 0.32887 0.09727 lineto
  8914. 0.33135 0.09708 lineto
  8915. 0.33383 0.09693 lineto
  8916. 0.33507 0.09687 lineto
  8917. 0.33631 0.09682 lineto
  8918. 0.33755 0.09679 lineto
  8919. 0.33879 0.09676 lineto
  8920. 0.34003 0.09675 lineto
  8921. 0.34127 0.09674 lineto
  8922. 0.34251 0.09675 lineto
  8923. 0.34375 0.09676 lineto
  8924. 0.34499 0.09679 lineto
  8925. 0.34623 0.09682 lineto
  8926. 0.34871 0.09693 lineto
  8927. 0.35119 0.09707 lineto
  8928. 0.35367 0.09726 lineto
  8929. 0.35615 0.09748 lineto
  8930. 0.36111 0.09806 lineto
  8931. 0.37103 0.09968 lineto
  8932. 0.38095 0.10193 lineto
  8933. 0.40079 0.10819 lineto
  8934. 0.42063 0.11669 lineto
  8935. 0.46032 0.13965 lineto
  8936. 0.5 0.16929 lineto
  8937. 0.53968 0.20408 lineto
  8938. 0.57937 0.24253 lineto
  8939. Mistroke
  8940. 0.61905 0.28329 lineto
  8941. 0.65873 0.32513 lineto
  8942. 0.69841 0.36699 lineto
  8943. 0.7381 0.40795 lineto
  8944. 0.77778 0.44728 lineto
  8945. 0.81746 0.48439 lineto
  8946. 0.85714 0.51882 lineto
  8947. 0.89683 0.55024 lineto
  8948. 0.93651 0.57845 lineto
  8949. 0.97619 0.60332 lineto
  8950. Mfstroke
  8951. grestore
  8952. grestore
  8953. grestore
  8954. grestore
  8955. % End of Graphics
  8956. MathPictureEnd
  8957. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  8958. When f[x] < 0, the line segment is assigned a negative length; when f[x] > 0, the line segment is assigned a positive length.
  8959. So #Ìı f[x]˚ dx means that we "sum up" the lengths of these line segments and arrive at the (signed) area that #Ìı f[x]˚ dx measures.
  8960. This is an excellent way of visualizing what the integral is and a lot of good mathematics is based on the intuition gained by thinking this way.
  8961. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  8962. B.3)  Three basic properties.
  8963. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  8964. B.3.a)
  8965. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  8966. Explain the formula
  8967.      #Ìı f[˚x˚] dx = #ÌÁ f[˚x˚] dx + #Íı f[˚x˚] dx
  8968. for any number c with a < c < b.
  8969. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  8970. Answer:
  8971. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  8972. The integral #Ìı f[˚x˚] dx measures the (signed) area between the graph of   y = f[˚x˚] and the segment of the x-axis between x = a and x = b.      
  8973. The sum      
  8974.           #ÌÁ f[˚x˚] dx + #Íı f[˚x˚] dx    
  8975. measures the same signed area but calulates it in two parts.
  8976. Let's try it for f[˚x˚] = 2x -˚˚4, a = 0, c = 3 and b = 5.
  8977. The number #…ê (2 x - 4) dx is given by: 
  8978. :[font = input; preserveAspect; ]
  8979. Integrate[2 x - 4,{x,0,5}]
  8980. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  8981. This should be equal to #…è (2 x - 4) dx + #£ê (2 x - 4) dx:
  8982. :[font = input; preserveAspect; ]
  8983. Integrate[2 x - 4,{x,0,3}] + Integrate[2 x - 4,{x,3,5}]
  8984. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  8985. On the money.
  8986. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  8987. B.3.b)
  8988. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  8989. Explain the formula
  8990.      #Ìı K f[˚˚x˚˚] dx = K #Ìı f[˚x˚˚] dx 
  8991. for any number K.
  8992. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  8993. Answer:
  8994. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  8995. The expression
  8996.           K #Ìı f[˚x˚] dx
  8997. measures an area and then multiplies by K to expand the value of the area.
  8998. The expression
  8999.           #Ìı K f[˚x˚] dx 
  9000. expands the area vertically first (by multiplying by K) and then measures the result.
  9001. Either expression leads to the same result.
  9002. Let's try it for f[˚x˚] = 4 x˚˚ + 1. 
  9003. :[font = input; preserveAspect; ]
  9004. Clear[K,x]
  9005. Integrate[ K (4 x + 1),{x,1,7}]
  9006. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9007. This should agree with:
  9008. :[font = input; preserveAspect; ]
  9009. K Integrate[(4 x + 1),{x,1,7}]
  9010. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9011. It does.
  9012. Let's try it for a particular value of K:
  9013. :[font = input; preserveAspect; ]
  9014. Integrate[19 (x + 1),{x,1,7}]
  9015. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9016. should be:
  9017. :[font = input; preserveAspect; ]
  9018. 19 Integrate[(x + 1),{x,1,7}]
  9019. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9020. Got it.
  9021. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9022. B.3.c)
  9023. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9024. Explain the formula
  9025.       #Ìı f[˚˚x˚˚] dx = #Ìı f[˚˚t˚˚] dt .
  9026. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9027. Answer:
  9028. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9029. Look at the following plots:
  9030. :[font = input; preserveAspect; ]
  9031. Clear[x,t]
  9032. f[x_] = 2 x^3 E^(-x)
  9033. :[font = input; preserveAspect; ]
  9034. Plot[f[x],{x,0,8},
  9035.     AspectRatio->Automatic,
  9036.     AxesLabel->{"x","y"},
  9037.     Ticks->{{1},None}];
  9038. :[font = input; preserveAspect; ]
  9039. Plot[ f[t],{t,0,8},
  9040.     AspectRatio->Automatic,
  9041.     AxesLabel->{"t","y"},
  9042.     Ticks->{{1},None}];
  9043. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  9044. The area between horizontal axis and each curve is the same. 
  9045. So for this function f[x], we see that
  9046.      #…¡ f[x] dx = #…¡ f[t] dt.
  9047. The same thing will happen for other functions and other intervals.
  9048. The use of the symbol t instead of the symbol x is a matter of bureaucracy and not a matter of mathematics or science. Only bean counters worry about it.
  9049. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9050. Tutorial
  9051. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9052. T.1)  Evaluation of integrals.
  9053. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9054.  Make the indicated area measurents:
  9055. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9056. T.1.a)
  9057. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9058.      #— ˋê  (“ÒèÒû - 6)˚ dx
  9059. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9060. Answer:
  9061. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9062. To see what's happening,  plot:
  9063. :[font = input; preserveAspect; ]
  9064. Clear[f,x]
  9065. f[x_]= 3 x/2 - 6
  9066. functionplot = Plot[f[x],{x,-1,5},AspectRatio->Automatic]
  9067. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9068. Put in some shading:
  9069. :[font = input; preserveAspect; ]
  9070. poly = Graphics[{GrayLevel[.75],
  9071.     Polygon[{{-1,0},{-1,f[-1]},{5,f[5]},{5,0}}]}]
  9072.     
  9073. Show[poly,functionplot]
  9074. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9075. This tells us to look at
  9076. #— ˋê (“ÒèÒû - 6)˚ dx  =
  9077.      #— ˋé (“ÒèÒû - 6) ˚dx + #¢ê  (“ÒèÒû - 6)˚ dx.
  9078.     
  9079. Here #¢ê (“ÒèÒû - 6) dx is the positive area under the curve 
  9080. y = “ÒèÒû - 6 and above the segment [˚4,˚˚5˚] on the x-axis. This is a triangle with:
  9081. :[font = input; preserveAspect; ]
  9082. base = 5 - 4
  9083. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9084. and
  9085. :[font = input; preserveAspect; ]
  9086. height = (3 x/2 - 6)/.x->5
  9087. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9088. So #¢ê (“ÒèÒû - 6) dx is
  9089. :[font = input; preserveAspect; ]
  9090. posarea = (1/2) (base height)
  9091. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9092. Also #— ˋé (“ÒèÒû - 6) ˚dx is the negative of the area over the curve 
  9093. y = “ÒèÒû - 6 and below the segment [˚-1,˚˚4˚] on the x-axis. This is a triangle with:
  9094. :[font = input; preserveAspect; ]
  9095. base = 4 - (-1)
  9096. :[font = input; preserveAspect; ]
  9097. height = (3 x/2 - 6)/.x->-1
  9098. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9099. So  #— ˋé (“ÒèÒû - 6) dx is:  
  9100. :[font = input; preserveAspect; ]
  9101. negarea = (1/2) base height
  9102. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9103. The integral
  9104. #— ˋê (“ÒèÒû - 6)˚ dx  = #— ˋé (“ÒèÒû - 6) ˚dx + #¢ê (“ÒèÒû - 6)˚ dx
  9105. is given by:
  9106. :[font = input; preserveAspect; ]
  9107. posarea + negarea
  9108. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9109. Mathematica can handle this one too.
  9110. :[font = input; preserveAspect; ]
  9111. Integrate[3 x/2 - 6,{x,-1,5}]
  9112. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9113. Got it.
  9114. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9115. T.1.b)
  9116. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9117.      #— £è Î9ã ã-ãã ãxç dx
  9118. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9119. Answer:
  9120. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9121. This integral measures the area of the top half of the circle 
  9122.           xç + yç = 9.
  9123. If you don't believe this, then just solve xç + yç = 9 for y:
  9124. :[font = input; preserveAspect; ]
  9125. Clear[x,y]
  9126. ysolved = Solve[x^2 + y^2 == 9,y]
  9127. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9128. The function we are integrating is Î9ã ã-ã ã˚ãxã˚ç˚. Here's a plot:
  9129. :[font = input; preserveAspect; ]
  9130. Plot[Sqrt[9 - x^2],{x,-3,3},AspectRatio->Automatic];
  9131. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9132. So #— £è Î9ã ã-ã ã˚ãxã˚ç˚˚˚˚dx measures the area inside this circle and above the x-axis, that is half the area of the circle. The radius is 3. As a result, the area and the integral have the value:
  9133. :[font = input; preserveAspect; ]
  9134. (1/2) Pi 3^2
  9135. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9136. Let's see what Mathematica does with this integral:
  9137. :[font = input; preserveAspect; ]
  9138. Integrate[Sqrt[9 - x^2],{x,-3,3}]
  9139. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9140. Got it.
  9141. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9142. T.1.c)
  9143. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9144.      #…è Î9ã ã-ã ã˚ãx˚ç˚˚dx.
  9145. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9146. Answer:
  9147. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9148. This is just the area of one quarter of a circle of radius 3;  so 
  9149. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9150.      #…è Î9ã ã-ã ã˚ãxã˚ç˚˚ dx  = (¢Òå) ` 3ç = ¢ÒÆÒä
  9151. Check:                          
  9152. :[font = input; preserveAspect; ]
  9153. Integrate[Sqrt[9 - x^2],{x,0,3}]
  9154. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  9155. Got it.
  9156. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9157. T.2)  Integration by approximation by trapezoids and 
  9158.       the Mathematica instruction NIntegrate.
  9159. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9160. T.2.a.i)
  9161. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9162. Plot on the same axes: 
  9163. f[˚˚x˚˚] = Sin[˚˚` x˚˚] for 0 ² x ²1 and the broken line that joins the four points on the curve 
  9164. {0, f[0]}, {£Òå, f˚[˚£Òå]˚˚}, {{Ò£ç, f˚[{£Òç]}, {1, f˚[˚1˚]}. 
  9165. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9166. Answer:
  9167. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9168. Define the function:
  9169. :[font = input; preserveAspect; ]
  9170. Clear[f,x,jump]
  9171. f[x_] = Sin[Pi x]
  9172. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9173. Take a look at the plot:
  9174. :[font = input; preserveAspect; ]
  9175. curveplot = Plot[f[x],{x,0,1}]
  9176. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9177. Make a table of the points
  9178. {0, f[0]}, {£Òå, f˚[˚£Òå]˚˚}, {{Ò£ç, f˚[{£Òç]}, {1, f˚[˚1˚]}.  
  9179. The jump from in the x-coordinate from point to point is:
  9180. :[font = input; preserveAspect; ]
  9181. jump = 1/3
  9182. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9183. So the points
  9184. {0, f[0]}, {£Òå, f˚[˚£Òå]˚˚}, {{Ò£ç, f˚[{£Òç]}, {1, f˚[˚1˚]}
  9185. are given by:
  9186. :[font = input; preserveAspect; ]
  9187. points = Table[{x,f[x]},{x,0,1,jump}]
  9188. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9189. Set up the plot of the points and the broken line segments:
  9190. :[font = input; preserveAspect; ]
  9191. pointplot =
  9192.     ListPlot[points,
  9193.     PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],PointSize[.015]},
  9194.     DisplayFunction-> Identity]
  9195. brokenlineplot =
  9196.     Graphics[Line[points]]
  9197.     
  9198. Show[curveplot,pointplot,brokenlineplot]
  9199. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9200. The straight-sided figure takes a healthy bite of the area under the curve measured by 
  9201.      #…å Sin[` x] dx.
  9202. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9203. T.2.a.ii)
  9204. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9205. Measure the (signed) area between the x-axis and broken line segments.
  9206. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9207. Answer:
  9208. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9209. The (signed) area between the x-axis and the broken line segments plotted above is the sum of the areas of consecutive trapezoids based on segments [˚˚x, x + jump˚] on the x-axis.  
  9210. Each has base of length = jump.
  9211. Each has two heights-namely f˚[˚˚x˚] and f˚[˚x + jump˚]˚˚.
  9212. So the area of each of the trapezoids is
  9213.           ÒõÒŁÒýÒ‚Ò Ò½ÒòÒ½ÒûÒàÒ Ò–“Ò ÒòÒ½ÒûÒ Ò–Ò ÒõÒŁÒýÒ‚ÒàÒà 
  9214. and we start at x = 0 and finish at x = 1 - jump.  
  9215. The sum of these areas is: 
  9216. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  9217. Area[4] = 
  9218.     N[Sum[jump (f[x] + f[x+jump])/2,{x,0,1-jump,jump}]]
  9219. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9220. T.2.a.iii)
  9221. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9222. Redo (T.2.a.i) and (T.2.a.ii) for 7 equally spaced points. 
  9223. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9224. Answer:
  9225. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9226. We are going from 0 to 1 in 6 equal jumps.
  9227. The jump from point to point is:
  9228. :[font = input; preserveAspect; ]
  9229. jump = 1/6
  9230. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9231. The points are given by:
  9232. :[font = input; preserveAspect; ]
  9233. points = Table[{x,f[x]},{x,0,1,jump}]
  9234. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9235. Set up the plot of the curve, the points and the broken line segments:
  9236. :[font = input; preserveAspect; ]
  9237. pointplot =
  9238.     ListPlot[points,
  9239.     PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],PointSize[.015]},
  9240.     DisplayFunction-> Identity]
  9241. brokenlineplot =
  9242.     Graphics[Line[points]]
  9243.     
  9244. Show[curveplot,pointplot,brokenlineplot]
  9245. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9246. The straight-sided figure takes a healthy bite of the area under the curve measured by 
  9247.      #…å Sin[` x] dx.
  9248. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9249. Look at one of the trapezoids:
  9250. :[font = input; preserveAspect; ]
  9251. Clear[trap]
  9252. trap[x_]:=Graphics[{GrayLevel[.75],
  9253. Polygon[{{x,0},{x,f[x]},{x+jump,f[x+jump]},{x+jump,0}}]}]
  9254.  
  9255. Show[trap[2 jump],curveplot,brokenlineplot,
  9256.     Ticks->{{2 jump,3 jump},Automatic}];
  9257. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9258. Or all of them:
  9259. :[font = input; preserveAspect; ]
  9260. Show[trap[0 jump],trap[1 jump],trap[2 jump],trap[3 jump],
  9261.     trap[4 jump],trap[5 jump],curveplot,brokenlineplot,
  9262.     Ticks->{{0,jump,2 jump,3 jump,4 jump, 5 jump,6 jump},
  9263.     Automatic}];
  9264. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9265. Notice that when we had four points we saw three trapezoids, but now for seven points we see six trapezoids. So for the case of n points, we will see (n-1) trapezoids.
  9266. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9267. The (shaded) area under broken line segments is:
  9268. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  9269. Area[7] =
  9270.      N[Sum[jump (f[x] + f[x+jump])/2,{x,0,1-jump,jump}]]
  9271. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9272. T.2.a.iv)
  9273. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9274. Redo (T.2.a.i) and (T.2.a.ii) for 13 equally spaced points. 
  9275. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9276. Answer:
  9277. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9278. We are going from 0 to 1 in 12 equal jumps.
  9279. The jump from point to point is:
  9280. :[font = input; preserveAspect; ]
  9281. jump = 1/12
  9282. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9283. The points are given by:
  9284. :[font = input; preserveAspect; ]
  9285. points = Table[{x,f[x]},{x,0,1,jump}]
  9286. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9287. Set up the plot of curve, the points and the broken line segments:
  9288. :[font = input; preserveAspect; ]
  9289. pointplot =
  9290.     ListPlot[points,
  9291.     PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],PointSize[.015]},
  9292.     DisplayFunction-> Identity];
  9293. brokenlineplot =
  9294.     Graphics[Line[points]];
  9295. Show[curveplot,pointplot,brokenlineplot]
  9296. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9297. The straight-sided figure takes a very healthy bite of the area under the curve measured by 
  9298.      #…å Sin[` x] dx.
  9299. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9300. The (shaded) area under the straight-sided figure is:
  9301. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  9302. Area[13] = 
  9303.     N[Sum[jump (f[x] + f[x+jump])/2,{x,0,1-jump,jump}]]
  9304. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9305. T.2.a.v)
  9306. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9307. Redo (T.2.a.i) and (T.2.a.ii) for 25 equally spaced points. 
  9308. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9309. Answer:
  9310. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9311. We are going from 0 to 1 in 24 equal jumps.
  9312. The jump from point to point is:
  9313. :[font = input; preserveAspect; ]
  9314. jump = 1/24
  9315. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9316. The points are given by:
  9317. :[font = input; preserveAspect; ]
  9318. points = Table[{x,f[x]},{x,0,1,jump}]
  9319. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9320. Set up the plot of the curve, the points and the broken line segments:
  9321. :[font = input; preserveAspect; ]
  9322. pointplot =
  9323.     ListPlot[points,
  9324.     PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],PointSize[.015]},
  9325.     DisplayFunction-> Identity];
  9326. brokenlineplot =
  9327.     Graphics[Line[points]];
  9328. Show[curveplot,pointplot,brokenlineplot]
  9329. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9330. Wow! You need a microscope to tell the area under the broken line segments from the area under the curve.
  9331. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9332. The area under the straight-sided figure is:
  9333. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  9334. Area[25] = 
  9335.     N[Sum[jump (f[x] + f[x+jump])/2,{x,0,1-jump,jump}]]
  9336. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9337. T.2.a.vi)
  9338. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9339. Measure the area under the  broken line segments for 50 equally spaced points. 
  9340. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9341. Answer:
  9342. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9343. There are 49 intervals; so:
  9344. :[font = input; preserveAspect; ]
  9345. jump = 1/49
  9346. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9347. The area under the broken line segments is:
  9348. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  9349. Area[50] = 
  9350.     N[Sum[jump (f[x] + f[x+jump])/2,{x,0,1-jump,jump}]]
  9351. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9352. T.2.a.vii)
  9353. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9354. Measure the area under the broken line segments for 100 equally spaced points. 
  9355. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9356. Answer:
  9357. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9358. There are 99 intervals; so:
  9359. :[font = input; preserveAspect; ]
  9360. jump = 1/99
  9361. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9362. The area under the broken line segments is:
  9363. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  9364. Area[100] = 
  9365. N[Sum[jump (f[x] + f[x+jump])/2,{x,0,1-jump,jump}]]
  9366. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9367. T.2.a.viii)
  9368. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9369. Review and assess your calculations. 
  9370. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9371. Answer:
  9372. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9373. The pictures show that, for large n's, the broken line segments are hard to tell from the original curve.  
  9374. Consequently, for large n's, the area under the straight-sided figures should be very close to the exact measurement   
  9375.      #…å Sin[˚` x˚] dx˚˚.
  9376. Let's look at the values of these areas that we calculated above: 
  9377. :[font = input; preserveAspect; ]
  9378. {Area[4],Area[7],Area[13],Area[25],Area[50],Area[100]}
  9379. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9380. These figures strongly suggest that
  9381.      #…å Sin[˚` x˚] dx = 0.636 within 0.001.
  9382. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9383. T.2.a.ix)
  9384. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9385. How are these calculations related to the Mathematica instruction NIntegrate?
  9386. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9387. Answer:
  9388. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9389. The Mathematica  instruction NIntegrate uses an approximation procedure similar (actually it's similar but a bit better) to what we just did.
  9390. Let's try this instruction to test our seat-of-the-pants estimate
  9391.      #…å Sin[˚` x˚] dx = 0.636 within 0.001.
  9392. :[font = input; preserveAspect; ]
  9393. NIntegrate[Sin[Pi x],{x,0,1}]
  9394. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9395. Our estimate was not so bad.
  9396. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9397. T.2.b)
  9398. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9399. Use trapezoids to get a reasonable idea of the value of the area measurement
  9400.      #ˋé (xè - 2 xç) e±û dx.
  9401. Check your estimate with Mathematica instruction NIntegrate.          
  9402. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9403. Answer:
  9404. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9405. The set-up involves only a few modifications to what we did in part (T.2.a) above.
  9406. As we did above, we'll start with four equally spaced points to make sure everything is running smoothly and then we'll advance to more points with smaller jumps between them.
  9407. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9408. Define the function:
  9409. :[font = input; preserveAspect; ]
  9410. Clear[f,x,jump]
  9411. f[x_] = (x^3 - 2 x^2) E^(-x)
  9412. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9413. Take a look at the plot:
  9414. :[font = input; preserveAspect; ]
  9415. curveplot = Plot[f[x],{x,1,4},PlotRange->All];
  9416. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9417. Take four equally spaced points on the x-axis starting with x =1 and stopping with x = 4. The jump from point to point is:
  9418. :[font = input; preserveAspect; ]
  9419. jump = (4 - 1)/3
  9420. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9421. So the points are given by:
  9422. :[font = input; preserveAspect; ]
  9423. points = Table[{x,f[x]},{x,1,4,jump}]
  9424. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9425. Set up the plot of the curve, the points and the broken line segments:
  9426. :[font = input; preserveAspect; ]
  9427. pointplot =
  9428.     ListPlot[points,
  9429.     PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],PointSize[.015]},
  9430.     DisplayFunction-> Identity]
  9431. brokenlineplot =
  9432.     Graphics[Line[points]]
  9433.     
  9434. Show[curveplot,pointplot,brokenlineplot]
  9435. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9436. The (signed) area between the x-axis and the broken line segments plotted above is the sum of the area of consecutive trapezoids based on segments [x, x + jump] on the x-axis.  
  9437. Each has base = jump.
  9438. Each has two heights- namely f[x] and f[x + jump].
  9439. So the area of each of the trapezoids is
  9440.           ÒõÒŁÒýÒ‚Ò Ò½ÒòÒ½ÒûÒàÒ Ò–“Ò ÒòÒ½ÒûÒ Ò–Ò ÒõÒŁÒýÒ‚ÒàÒà 
  9441.  
  9442. The sum of these areas is: 
  9443. :[font = input; preserveAspect; ]
  9444. Area[4] = 
  9445.     N[Sum[jump (f[x] + f[x+jump])/2,{x,1,4 - jump,jump}]]
  9446. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9447. Note how the leftmost trapezoid carries a negative area:
  9448. :[font = input; preserveAspect; ]
  9449. jump (f[1] + f[1+jump])/2
  9450. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9451. This is the way it should be.
  9452. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9453. Now let's try 13 points:
  9454. :[font = input; preserveAspect; ]
  9455. jump = (4 - 1)/12
  9456. :[font = input; preserveAspect; ]
  9457. points = Table[{x,f[x]},{x,1,4,jump}]
  9458. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9459. Set up the plot of the curve, the points and the broken line segments:
  9460. :[font = input; preserveAspect; ]
  9461. pointplot =
  9462.     ListPlot[points,
  9463.     PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],PointSize[.015]},
  9464.     DisplayFunction-> Identity]
  9465. brokenlineplot =
  9466.     Graphics[Line[points]]
  9467.     
  9468. Show[curveplot,pointplot,brokenlineplot]
  9469. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9470. Neat; you can hardly tell the broken line segments from the curve. 
  9471. The trapezoidal area is:
  9472. :[font = input; preserveAspect; ]
  9473. Area[13] = 
  9474.     N[Sum[jump (f[x] + f[x+jump])/2,{x,1,4-jump,jump}]]
  9475. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9476. Now try 25 points:
  9477. :[font = input; preserveAspect; ]
  9478. jump = (4 - 1)/24
  9479. :[font = input; preserveAspect; ]
  9480. Area[25] = 
  9481.     N[Sum[jump (f[x] + f[x+jump])/2,{x,1,4-jump,jump}]]
  9482. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9483. 50 points:
  9484. :[font = input; preserveAspect; ]
  9485. jump = (4 - 1)/49
  9486. :[font = input; preserveAspect; ]
  9487. Area[50] = 
  9488.     N[Sum[jump (f[x] + f[x+jump])/2,{x,1,4-jump,jump}]]
  9489. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9490. 100 points:
  9491. :[font = input; preserveAspect; ]
  9492. jump = (4 - 1)/99
  9493. :[font = input; preserveAspect; ]
  9494. Area[100] = 
  9495.     N[Sum[jump (f[x] + f[x+jump])/2,{x,1,4-jump,jump}]]
  9496. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9497. Review and assess:
  9498. :[font = input; preserveAspect; ]
  9499. {Area[4],Area[13],Area[25],Area[50],Area[100]}
  9500. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9501. This is pretty strong evidence. A pitcher of golden liquid refreshment bets that
  9502.      #ˋé (x - 2 xç) e±û dx = 0.558869 
  9503. to 6 accurate decimals.
  9504. Let's see:          
  9505. :[font = input; preserveAspect; ]
  9506. NIntegrate[f[x],{x,1,4}]
  9507. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9508. That was a safe bet.
  9509. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9510. T.2.c)
  9511. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9512. In practice, how do we know how to set the number of points to achieve desired accuracy? 
  9513. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9514. Answer:
  9515. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  9516. That's hard to answer. Experience seems to say that the peppy functions usually require more points than lazy functions.  
  9517. Some of the old style calculus books and all numerical analysis books  give formulas for error estimates, but these formulas are rather revolting to use and the error estimates these formulas predict are unrealistically conservative in most practical situations.
  9518. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9519. T.3)  Using the instruction NIntegrate.
  9520. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9521. T.3.a)
  9522. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9523. Use NIntegrate to estimate the value of
  9524.      #…å 4/(1 + xç) dx.
  9525. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9526. Answer:
  9527. :[font = input; preserveAspect; ]
  9528. Clear[x]
  9529. NIntegrate[4/(1 + x^2),{x,0,1}]
  9530. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9531. Say, that number looks familiar!  
  9532. :[font = input; preserveAspect; ]
  9533. N[Pi]
  9534. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9535. The smart money bets 
  9536. #…å 4/(1 + xç) dx = ` .
  9537. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9538. T.3.b)
  9539. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9540. For t ¬ 0, set
  9541.              f[t] = #…ð Sin[x] dx - 1
  9542. and plot f[t] for 0 ² t ² 2 `.
  9543. Use your plot to guess a formula for f[t].
  9544. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9545. Answer:
  9546. :[font = input; preserveAspect; ]
  9547. Clear[f,x,t]
  9548. f[t_] := NIntegrate[Sin[x],{x,0,t}] - 1
  9549. curveplot = Plot[f[t],{t,0,2 Pi},AxesLabel->{"t","y"}]
  9550. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9551. Say, that curve looks familiar!  
  9552. :[font = input; preserveAspect; ]
  9553. negcosplot = Plot[-Cos[t],{t,0,2 Pi}]
  9554. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9555. The plots appear to be identical!
  9556. Superimpose the plots:
  9557. :[font = input; preserveAspect; ]
  9558. Show[curveplot,negcosplot]
  9559. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  9560. They share the same ink all the way. 
  9561. The smart money bets 
  9562.      f[t] = #…ð Sin[x] dx - 1 = -Cos[t].
  9563. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9564. T.4)  Nonsense integrals.
  9565. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9566. When we write
  9567.      #Ìı f[x] dx 
  9568. and attempt to evaluate it, the  expression
  9569.      #Ìı f[x] dx 
  9570. is meaningless if
  9571. --> f[x] becomes unbounded in [a,b]
  9572. or if      
  9573. --> f[x] is not defined at some x in [a,b] 
  9574. or if 
  9575. --> f[x] has a singularity (blow up or blow down) in [a,b].
  9576. Say why none of the following integrals have meaning.
  9577. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9578. T.4.a)
  9579. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9580.      #—  £ç (1/xç) dx and #…å (1/xç) dx
  9581. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9582. Answer:
  9583. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9584. These are meaningless because (1/xç) blows up (is unbounded) on any interval containing 0. 
  9585. :[font = input; preserveAspect; ]
  9586. Plot[1/x^2,{x,-.5,.2}]
  9587. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9588. Note that Mathematica (version 1.2) advertises a value of: 
  9589. :[font = input; preserveAspect; ]
  9590. Integrate[1/x^2,{x,-3,2}]
  9591. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9592. for #—  £ç (1/xç) dx. 
  9593. This answer is wrong because #—  £ç (1/xç) dx is meaningless.
  9594. Newer versions of Mathematica will not make this mistake.
  9595. On the other hand Mathematica correctly declines to answer when you ask for #…å (1/xç) dx: 
  9596. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  9597. Integrate[1/x^2,{x,0,1}]
  9598. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9599. T.4.b)
  9600. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9601.      #— ˋå Îx dx
  9602. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9603. Answer:
  9604. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9605. Within the realm of real numbers, this is meaningless because Îx is undefined as a real number for - 1 ² x < 0. So there is no physical meaning to the area under the curve y = Îx for -1 ² x ² 0. 
  9606. Let's see what Mathematica does:
  9607. :[font = input; preserveAspect; ]
  9608. Integrate[Sqrt[x],{x,-1,1}]
  9609. :[font = input; preserveAspect; ]
  9610. y'[x] = Cos[x y[x]]
  9611. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9612. Mathematica here makes the only possible choice and interprets the integral as
  9613.      #— ˋå Îx dx 
  9614.           = #— ˋí Îx dx + #…å Îx dx 
  9615.           = #— ˋí Î-ã1ã ã(ã-ãxã) dx + #…å Îx dx 
  9616.           = #— ˋí Î-ã1 Î-ãx dx + #…å Îx dx                               
  9617.           = Î-ã1 #— ˋí Î-ãx dx + #…å Îx dx.
  9618. Then, Mathematica gives, by a method you will soon understand, that 
  9619.            #— ˋí Î-ãx  dx = £Òç
  9620.            #…å Î-ãx  dx = £Òç           
  9621. and comes up with the overall answer :
  9622.                 (£Òç) + (£Òç) Î-ãx = (£Òç) + (£Òç) I.
  9623. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9624. T.4.c)
  9625. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9626.      #…å Î1ã ã-ã ã4ãxãç dx
  9627. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9628.  Answer:
  9629. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9630. Take a look at a plot:
  9631. :[font = input; preserveAspect; ]
  9632. Plot[Sqrt[1 - 4 x^2],{x,0,1}, PlotRange->{{0,1},{0,1}}];
  9633. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9634. The errror messages and the plot tell you that there is no curve for .5 < x ² 1.  
  9635. No wonder because 1 - 4xç < 0 for x > “Òå and hence
  9636. Î1ã ã-ã ã4ãxãç is undefined as a real number on the subinterval [1/2,1] of [0,1]. Consequently #…å Î1ã ã-ã ã4ãxãç dx is meaningless because there is no physical meaning to the area under the curve y = 1 - 4xç for
  9637. “Òå < x ² 1.
  9638. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9639. Let's see what Mathematica does:
  9640. :[font = input; preserveAspect; ]
  9641. Integrate[Sqrt[1 - 4 x^2],{x,0,1}]
  9642. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  9643. Again Mathematica was forced to into the realm of complex (imaginary) numbers to handle this integral. 
  9644. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9645. Give it a try
  9646. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9647. How to type integral signs: The CalcMath font.
  9648. If you want some tips on typing integrals and text, put the cursor on top of the little box and double click.
  9649. ----------------------------------->
  9650. :[font = smalltext; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9651. To type #Ìı f[x] dx, all you have to do is: 
  9652. 1.) Be sure that you are using the CalcAndMath keyboard mapping.  Check by double clicking on the clock on the dock.
  9653. 2.)  Type shift-3 to get the integral sign ... # .
  9654. 3.)  Type Alternate-a to get the lower limit.
  9655. 4.)  Type Shift-Alternate-b to get the upper limit.
  9656. If you want more information on the CalcMath font, then click the box: 
  9657. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  9658. Typing more complicated expressions like # Óܼ½©ð¾à f[x] dx is slightly trickier: 
  9659. Probably the best way to do it is to place the blinker where you want the integral sign to be. Then execute steps 2 and three  above.
  9660. Then
  9661. a.) Type Shift-3; The result will be: #.
  9662. b.) Type Control-s; the result will be: #Ó .. 
  9663. c.) Type Shift-Control-c; the result will be: #ÓÜ.
  9664. d.) Type Alternate-[ and Shift-Alternate-[ and get #Óܼ½. 
  9665. e.) Type Alternate-t and Shift-Alternate-t, and finally type Alternate-] and Shift-Alternate-] to get  #Óܼ½©ð¾à .  
  9666. The beauty (and the trouble) here is that the lower characters are zero-width. As a result, the cursor does not advance after you type a lower character. It does advance after you type a high character.
  9667. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9668. G.1)  Taking advantage of symmetry-odd functions and even functions.
  9669. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9670. G.1.a)
  9671. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9672. Plot f[x] = xè on [-2, 2].
  9673. What is the value of #— “ç xè dx and why?
  9674. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9675. G.1.b)
  9676. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9677. Plot f[x] = Sin[x] on [-`,`].
  9678. What is the value of #— ~ä Sin[x] dx and why?
  9679. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9680. G.1.c)
  9681. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9682. Plot f[x] = Sin[x] on [-2`,2`].
  9683. What is the value of #— “ç~ä Sin[x] dx and why?
  9684. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9685. G.1.d)
  9686. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9687. Plot f[x] = x e±ûÄ on [-4,4].
  9688. What is the value of #— ¢é x e±ûÄ dx and why?
  9689. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9690. G.1.e)
  9691. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9692. What is the value of
  9693.      #— “ç x (1 - 3 xç + 7xé˚)/(1 + 5 xç + 6xé) dx  
  9694. and why?
  9695. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9696. G.1.f)
  9697. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9698. A function f[x] is called odd if
  9699.           f[-x] = -f[x] for all x's.
  9700. All the functions you plotted and integrated in parts (a) through (e) above are odd functions.
  9701. If f[x] is any odd function and a is any positive constant, then what is the value of #— ÌÀ f[x] dx and why?
  9702. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9703. G.1.h)
  9704. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9705. A function f[x] is called even if
  9706.           f[-x] = f[x] for all x's.
  9707. f[x] = xç, f[x] = xé, f[x] = Cos[x] are all examples of even functions.
  9708. Plot these functions on [-1,1] and then give three more examples of even functions. Plot them on [-2,2].
  9709. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9710. G.1.h.i)
  9711. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9712. Explain why
  9713.           #— ÌÀ f[x] dx = 2 #…À f[x] dx
  9714. provided that f[x] is an even function and a is any positive constant.
  9715. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9716. G.2)  Calculating some integrals.
  9717. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9718. Give the values of the following integrals; check with Mathematica .
  9719. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9720. G.2.a)
  9721. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9722.      #£ê (2x +3) ˚dx.
  9723. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9724. G.2.b)
  9725. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9726.      #£ð (2x +3) ˚dx.
  9727.      Assume t > 3.
  9728. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9729. G.2.c)
  9730. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9731.      #— “é (1 - x)˚ dx.
  9732. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9733. G.2.d)
  9734. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9735.      #…é Î1ã6ã ã-ã ãxãç dx.
  9736. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9737. G.2.e)
  9738. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9739.      #— ˋå x Î1ã ã-ã ãxãç dx.
  9740. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9741. G.2.f)             
  9742. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9743.      #— ˋå xè Î1ã ã-ã ãxãç dx.
  9744. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9745. G.2.g)
  9746. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9747.      | #— ˋå x dx | and #— ˋå|x| dx .
  9748. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9749. G.2.h)
  9750. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9751.      #— “ç (eû - e±û) dx.
  9752. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9753. G.3)  Plotting and integrating.
  9754. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9755. G.3.a)
  9756. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9757. Plot f[x] = x (x - 1)(x - 2) for 0 ² x ² 2.
  9758. Use your plot to help you to determine the value of                         
  9759.           #…ç x(x-1)(x-2) dx . 
  9760. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9761. G.3.b)
  9762. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9763. Plot   f[x] = Sin[x] for 0 ² x ² 2`
  9764. Use your plot to help you to determine the value of                         
  9765.           #…çä Sin[x] dx. 
  9766. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9767. G.3.c)
  9768. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9769. Plot f[x] = Cos[x] for 0 ² x ² 2`.
  9770. Use your plot to help you to determine the value of                         
  9771.           #…çä Cos[x] dx. 
  9772. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9773. G.3.d)
  9774. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9775. Plot f[x] = Sin[x]ç and g[x] = Cos[x]ç on the same axes for 
  9776. 0 ² x ² `.
  9777. Use your plot to help you to determine a relationship between                         
  9778.           #…ä Sin[x]ç dx and #…ä Cos[x]ç dx .   
  9779. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9780. G.4)  The larger the function, the larger its integral. 
  9781. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9782. G.4.a)
  9783. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9784. Plot
  9785.           eŒ˛ïð½ûà and 1/(1+xê) 
  9786. on the same axes for 0 ² x ² 3 and use your plot
  9787. to explain why  
  9788.           #…è eŒ˛ïð½ûà dx > #…è 1/(1+xê) dx.
  9789. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9790. G.4.b)
  9791. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9792. Explain why #Ìı f[x] dx  ¬ #Ìı g[x] dx
  9793. if f[x] ¬ g[x] for all x's in [a,b].
  9794. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9795. G.4.c)
  9796. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9797. Explain why
  9798.           5 Log[2] ² #“ç–ê Log[x] dx < 5 Log[2 + 5].
  9799. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9800. Hot Tip:
  9801. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9802. Look at the plot:
  9803. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  9804. plot = Plot[{Log[2],Log[x],Log[2 + 5]},{x,2,2 + 5},
  9805.     AxesLabel->{x,y},AspectRatio->Automatic,
  9806.     AxesOrigin->{2,0},PlotRange->{{2,2 + 5},{0,Log[2 + 5]}}];
  9807. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9808. G.4.d) : Mean Value Theorem for Integrals
  9809. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9810. Suppose f'[x] ¬ 0 for all x's with a ² x ² b. Explain why
  9811.      f[a] (b - a) ² #Ìı f[x] dx ² f[b] (b - a).
  9812. Then explain why there is some z between a and b such that
  9813.       #Ìı f[x] dx = f[z] (b - a).
  9814. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9815. G.5)  Integration by approximation by trapeziods. 
  9816. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9817. Use trapezoids in the style of T.2) to get a reasonable idea of the value of the following integrals. For the smaller values of n, plot the straight-sided figures along with the curves on the same axes.
  9818. Check your estimates with NIntegrate.        
  9819. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9820. G.5.a)
  9821. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9822.      #…ä Î1ã ã+ã ã8ã ãSãiãnã[ãxã]ãç dx.             
  9823. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9824. G.5.b)
  9825. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9826.      #— ˋé (x - 1) e±ûÄ dx.
  9827. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9828. G.5.c)
  9829. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9830. Suppose you know that f''[x] > 0 for all x's in [a,b]. 
  9831. When you approximate the measurement #Ìı f[x] dx
  9832. with sums of areas of trapezoids as in T.2), do the approximations overestimate or underestimate the true value of
  9833. #Ìı f[x] dx?
  9834. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9835. Tip:
  9836. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  9837. Experiment with some specific functions and specific values of a and b.
  9838. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9839. G.6)  Integration of data lists.
  9840. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9841. Sometimes the formula for a function is not available, but a reasonably complete tabulation of its values is available. This situation is common when a laboratory experiment is over and all the data are organized. 
  9842. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9843. G.6.a)
  9844. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9845. The following values {x[k],f[x[k]]} are known:
  9846. :[font = input; preserveAspect; ]
  9847. {{2., 4.841}, {2.125, 4.970}, {2.25, 4.740}, 
  9848.     {2.375, 5.504}, {2.5, 6.057}, {2.625, 7.017}, 
  9849.     {2.75, 7.470}, {2.875, 8.232}, {3., 9.091}}
  9850. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9851. But the exact formula for f[x] is not known.
  9852. What is your best shot at a value for
  9853.      #“èf[x] dx ?
  9854. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9855. Big Tip:
  9856. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9857. A decent response would be to connect the data points with straight line segments and then calculate the aggregate area underneath the stick figure:
  9858. :[font = input; preserveAspect; ]
  9859. points = {{2., 4.841}, {2.125, 4.970}, {2.25, 4.740}, 
  9860.     {2.375, 5.504},{2.5, 6.057}, {2.625, 7.017}, 
  9861.     {2.75, 7.470}, {2.875, 8.232},{3., 9.091}}
  9862. :[font = input; preserveAspect; ]
  9863. pointplot =
  9864.     ListPlot[points,
  9865.     PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],PointSize[.015]},
  9866.     DisplayFunction-> Identity]
  9867. :[font = input; preserveAspect; ]
  9868. brokenlineplot =
  9869.     Graphics[Line[points]]
  9870. :[font = input; preserveAspect; ]
  9871. Show[pointplot,brokenlineplot,
  9872.     AxesOrigin->{2,0},AxesLabel->{"x","y"},
  9873.     PlotRange->{0,10},DisplayFunction->$DisplayFunction];
  9874. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9875. Now calculate the trapezoidal areas above the consecutive intervals
  9876. [x[k], x[k+1]] and under the broken line segments and add.
  9877. You might find it useful to pick off the y-values. The points are:
  9878. :[font = input; preserveAspect; ]
  9879. points
  9880. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9881. The y-value of the fourth point is:
  9882. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  9883. points[[4,2]]
  9884. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9885. G.6.b)
  9886. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9887. The following values {x[k], f[x[k]]}  are known:
  9888. :[font = input; preserveAspect; ]
  9889. {{1., 0.001}, {1.083, 0.813}, {1.165, 1.570}, {1.253, 2.221}, 
  9890.   {1.337, 2.720}, {1.416, 3.034}, {1.518, 3.141}, 
  9891.   {1.583, 3.034}, {1.671, 2.720}, {1.752, 2.221}, 
  9892.   {1.829, 1.570}, {1.918, 0.813}, {2., 0.002}}
  9893. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9894. But the exact formula for f[x] is not known.
  9895. What is your best shot at a value for
  9896.      #ˋç f[x] dx?
  9897. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9898. Tip:
  9899. Careful; the x-coordinates of these points are not equally spaced. You can pick off the values of the various x-coordinates:
  9900. :[font = input; preserveAspect; ]
  9901. points ={{1., 0.001}, {1.083, 0.813}, {1.165, 1.570}, {1.253, 2.221}, 
  9902.   {1.337, 2.720}, {1.416, 3.034}, {1.518, 3.141}, 
  9903.   {1.583, 3.034}, {1.671, 2.720}, {1.752, 2.221}, 
  9904.   {1.829, 1.570}, {1.918, 0.813}, {2., 0.002}}
  9905. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9906. The x-coordinate of the third point is:
  9907. :[font = input; preserveAspect; endGroup; ]
  9908. points[[3,1]]
  9909. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9910. G.6.c)
  9911. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9912. How would you say that the technique used in parts a and b is related to linear interpolation?
  9913. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9914. G.7)  Using the instruction NIntegrate.
  9915. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9916. G.7.a)
  9917. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9918. Use NIntegrate to estimate the value of
  9919.      4 #…幌˛ïð½çà 1/Î1ã ã-ã ãxãç dx.
  9920. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9921. G.7.b)
  9922. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9923. For t ¬ 0, set
  9924.      f[t] = #…ð Cos[x] dx 
  9925. and use NIntegrate to give a plot f[t]  for 0 ² t ² `.
  9926. Use your plot to guess a formula for f[t].
  9927. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9928. G.7.c)
  9929. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9930. Plot enough of yç = xç(3 + x)/(3 - x) to discover the loop.
  9931. Then use NIntegrate to calculate the area the loop encloses.
  9932. :[font = special1; inactive; preserveAspect; ]
  9933. Tip:
  9934. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; ]
  9935. You might like the following instruction:
  9936. :[font = input; preserveAspect; ]
  9937. ExpandAll[Solve[y^2 == (x + 3)(x^2 - x + 2 y - 3),y]]
  9938. :[font = smalltext; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  9939. Note that if x ¬ 0, then    
  9940.      Î1ã2ãxãçã ã+ã ã4ã ãxãè = 2x = Î3ã ã+ã ãx.
  9941. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9942. G.8)  The area of a strip of a circle. 
  9943. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  9944. G.8.a)
  9945. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9946. Look at the output from:
  9947. :[font = input; preserveAspect; ]
  9948. Integrate[Sqrt[1 - x^2],{x,0,1/2}]
  9949. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9950. Then explain how the numbers Î3/8 and Òˋ “Òä arise as area measurements within the following graphic:
  9951. :[font = input; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  9952. p = {1/2,Sqrt[3]/2}
  9953. circle = Graphics[Circle[{0,0},1,{ArcTan[Sqrt[3]],Pi/2}]]
  9954. radius = Graphics[Line[{{0,0},p}]]
  9955. vertical = Graphics[Line[{{1/2,0},p}]]
  9956. angle = Graphics[Circle[{0,0},.15,{0,ArcTan[Sqrt[3]]}]]
  9957. anglelabel = Graphics[Text["Pi/3",{.2,.1}]]
  9958. point = Graphics[{PointSize[0.015],Point[p]}]
  9959. pointlabel = Graphics[Text["{1/2,Sqrt[3]/2}",{.7,Sqrt[3]/2}]]
  9960.  
  9961. Show[circle,radius,vertical,angle,anglelabel,point,pointlabel,
  9962.     PlotRange->{{0,1},{0,1}},AspectRatio->Automatic,
  9963.     AxesOrigin->{0,0},AxesLabel->{"x","y"}];
  9964. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  9965. Literacy Sheet
  9966. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9967. 1.  Fix numbers a and b with a < b and fix a function f[x].
  9968. Explain what the symbol #Ìı f[x] ˚dx means.
  9969. Is it a number or is it a function?
  9970. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9971. 2.  Fix numbers a and b with a < b.
  9972. If f[x] ¬ 0 for a ² x ² b, then can it be that #Ìı f[x]˚dx < 0?
  9973. Why? 
  9974. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9975. 3.  If f[x] ² g[x] for all x's with a ² x ² b, then why it is automatic that
  9976. #Ìı f[x]˚ dx ² #Ìı g[x] ˚dx?        
  9977. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9978. 4.  If f[x] is an odd function, then what is the value of
  9979. #— “ç f[x] dx? 
  9980. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9981. 5.  Explain the formula
  9982.      #Ìı f[˚x˚] dx = #ÌÁ f[˚x˚] dx + #Íı f[˚x˚] dx
  9983. for any number c with a < c < b.
  9984. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9985. 6.  Explain the formula
  9986.      #Ìı K f[˚˚x˚˚] dx = K #Ìı f[˚x˚˚] dx 
  9987. for any number K.
  9988. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9989. 7.  Explain the formula 
  9990.      #Ìı f[˚˚x˚˚] dx = #Ìı f[˚˚t˚˚] dt .
  9991. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9992. 8.  What is the idea behind integration by trapezoids?
  9993. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9994. 9.  What bothers us about writing #…ç ¼Ò Ò¯ Ò—åÒˋ Ò¾  dx?
  9995. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  9996. 10.  Suppose f[x] is increasing on [a, b]. Why is is guaranteed that
  9997.           f[a] (b - a) ²  #Ìı f[x] dx ² f[b] (b - a)? 
  9998. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  9999. 11.  Explain why 
  10000.           | #Ìı f[x] dx | ² #Ìı | f[x] | dx .
  10001.    Assume a ² b.
  10002. ^*)